Analyse du Sujet Bac Maths Spécialité - Métropole 17 Juin 2025

Le sujet du Baccalauréat de Mathématiques Spécialité (Session 2025, Métropole) s'inscrit dans la lignée des épreuves exigeantes mais équilibrées. Il couvre l'intégralité du programme avec une répartition classique des points, tout en intégrant des notions fines comme l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les équations différentielles logistiques. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les compétences attendues et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Probabilités et Loi des Grands Nombres (5 points)

Ce premier exercice ancre les mathématiques dans le réel avec une étude sur les groupes sanguins. Il est découpé en trois parties distinctes qui demandent une bonne maîtrise des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires.

• Arbres et Probabilités Conditionnelles : La première partie est classique. L'élève doit traduire l'énoncé en arbre pondéré. La difficulté réside souvent dans la lecture attentive des données (bien distinguer "parmi eux" qui indique une conditionnelle, d'une probabilité d'intersection). Le calcul de la probabilité d'être "donneur universel" (Groupe O et Rhésus négatif) demande de remonter l'arbre correctement.
• Loi Binomiale : La transition vers l'échantillonnage de 100 personnes amène naturellement à la loi binomiale. Les mots-clés "tirage avec remise" (assimilé) et "succès/échec" sont les indicateurs. Le calcul de $P(X \leqslant 7)$ nécessite l'usage de la calculatrice, une compétence technique indispensable.
• Somme de Variables et Bienaymé-Tchebychev : C'est la partie la plus sélective. L'exercice introduit une moyenne de variables aléatoires $M_N$. L'élève doit utiliser la linéarité de l'espérance et la propriété de la variance pour une somme de variables indépendantes ($V(M_N) = \frac{V(X)}{N}$). Enfin, l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour trouver la taille de l'échantillon $N$ demande une rigueur formelle dans la manipulation des inégalités. C'est ici que se joue la différence pour les très bonnes copies.

Exercice 2 : Analyse de Fonction, Logarithme et Convexité (6 points)

Un exercice d'analyse très complet mêlant lecture graphique et calcul algébrique pur autour de la fonction logarithme népérien ($\ln$).

• Lecture Graphique : Ne négligez pas la partie A. Savoir lire un nombre dérivé (pente de la tangente) et la convexité (position par rapport aux tangentes) est un prérequis.
• Étude de Fonction avec $\ln$ : La fonction $f(x) = x[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2]$ effraie souvent par sa forme. L'astuce consiste à poser $X = \ln x$ pour résoudre l'équation du second degré associée. La maîtrise des limites de croissance comparée en 0 ($x(\ln x)^2 \to 0$) est cruciale.
• Convexité et Point d'Inflexion : Le calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ est guidé, mais il faut être capable d'étudier son signe. Le lien entre le signe de la dérivée seconde et la position de la courbe par rapport à sa tangente est testé ici.
• Calcul d'Aire et Intégration par Parties (IPP) : La dernière partie exige une IPP pour calculer $\int x \ln x dx$. C'est une technique calculatoire incontournable en Terminale. L'erreur classique est de se tromper dans le choix de $u(x)$ et $v'(x)$. Le calcul final de l'aire nécessite de bien soustraire l'aire sous la courbe à l'aire sous la tangente (ou inversement selon la position relative).

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace - Vrai ou Faux (4 points)

Le format "Vrai/Faux avec justification" est à double tranchant. Une réponse sans justification ne rapporte rien, et une justification maladroite peut coûter des points.

• Représentation paramétrique : Vérifier si deux points appartiennent à une droite définie paramétriquement. Attention à l'unicité du paramètre $t$ pour les trois coordonnées.
• Vecteur normal : Il suffit de vérifier le produit scalaire avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (OAB). Une simple vérification d'orthogonalité suffit souvent.
• Position relative de deux droites : L'affirmation "non coplanaires" oblige à vérifier deux choses : elles ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires) ET elles ne sont pas sécantes (pas de point d'intersection). C'est souvent long à rédiger.
• Distance Point-Plan : L'application directe de la formule de la distance d'un point à un plan est attendue. C'est du cours pur : $d = \frac{|ax_C + by_C + cz_C + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Exercice 4 : Modélisation, Suites et Équations Différentielles (5 points)

Un très bel exercice de modélisation sur l'évolution d'une algue (la posidonie), traité sous deux angles : discret et continu.

• Modèle Discret (Suites) : On retrouve l'étude classique d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$. Récurrence pour l'encadrement, théorème de convergence monotone, et calcul de la limite par résolution de $f(L) = L$ (théorème du point fixe). L'algorithme en Python demande de comprendre la boucle while pour déterminer un seuil.
• Modèle Continu (Équations Différentielles) : L'équation $y' = ay(b-y)$ est une équation logistique. L'énoncé guide l'élève via un changement de variable $g = 1/f$ qui ramène le problème à une équation linéaire $y' = ay + b$ classique. C'est une méthode puissante qu'il faut savoir reproduire.
• Résolution et Limites : Une fois la fonction $f(t)$ trouvée (impliquant une exponentielle), l'étude de sa limite en $+\infty$ et la résolution de l'inéquation $f(t) > 14$ permettent de répondre à la problématique biologique initiale. Attention aux manipulations de l'exponentielle et du logarithme lors de la résolution de l'inégalité.

Conclusion

Ce sujet Métropole 2025 est un excellent test de niveau. Il ne comporte pas de piège vicieux mais demande une solidité technique sur tous les chapitres majeurs : intégration, fonctions logarithmes, suites et probabilités. La présence de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et du changement de variable dans l'équation différentielle valorise les élèves ayant approfondi le cours.