Compétences et clés de réussite
L'exercice 1 du sujet de mathématiques du baccalauréat Asie 2025 (Sujet 1) prend la forme d'un Vrai/Faux exigeant une justification rigoureuse. Ce format est particulièrement redouté car la simple intuition ne suffit pas : la validation de l'affirmation repose entièrement sur la qualité et l'exhaustivité de la démonstration apportée par le candidat. Cet exercice est un grand classique de l'épreuve de spécialité et balaye de nombreux concepts de l'analyse fonctionnelle au programme de Terminale.
1. Dérivation et fonctions exponentielles
La première compétence testée est le calcul de dérivée d'une fonction construite à l'aide de la fonction exponentielle. La fonction proposée se présente sous la forme d'un produit, nécessitant la maîtrise absolue de la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' ainsi que la dérivée d'une fonction composée e^(ax). Savoir factoriser le résultat par l'exponentielle est une étape incontournable pour étudier ensuite le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction, bien que cette première affirmation ne demande que le calcul direct.
2. Vérification de solutions d'équations différentielles
La deuxième affirmation aborde le domaine des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants. Ici, il n'est pas demandé de résoudre l'équation différentielle depuis le début, mais plutôt de vérifier si une fonction donnée en est une solution particulière. Pour réussir, le candidat doit injecter la fonction et sa dérivée, préalablement calculée, dans le membre de gauche de l'équation différentielle, puis s'assurer que le résultat correspond bien au second membre. Cela demande de l'attention dans les calculs algébriques et une bonne gestion des termes en exponentielle.
3. Convexité et dérivée seconde
L'étude de la convexité d'une fonction est une notion centrale de la classe de terminale. Pour infirmer ou confirmer l'affirmation portant sur la convexité d'une fonction sur un intervalle donné, il est impératif de calculer la dérivée seconde de cette fonction. Le candidat devra dériver la fonction obtenue à la première affirmation (en utilisant à nouveau la formule du produit) et étudier avec précision le signe de cette dérivée seconde. Une parfaite maîtrise des tableaux de signes et des propriétés de positivité stricte de la fonction exponentielle est requise pour conclure.
4. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Le quatrième point porte sur l'existence et l'unicité d'une solution à une équation du type f(x) = k. La clé de réussite réside dans l'application méthodique du corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, aussi appelé théorème de la bijection. Les étapes incontournables incluent : justifier la continuité de la fonction, dresser le tableau de variations complet (incluant le calcul rigoureux des limites aux bornes, ce qui fait appel aux croissances comparées), identifier l'intervalle où se situe la valeur cible et vérifier la stricte monotonie sur cet intervalle.
5. Calcul intégral et détermination d'aires
La dernière affirmation fait le pont entre l'intégration et la géométrie en demandant de vérifier la valeur exacte d'une aire. Pour réussir cette question, il faut savoir relier le domaine délimité par une courbe, l'axe des abscisses et des droites verticales, à la notion d'intégrale. De plus, pour calculer l'intégrale d'une fonction, le candidat devra soit reconnaître la forme d'une dérivée issue de primitives particulières, soit utiliser la méthode d'intégration par parties, soit exploiter astucieusement les résultats de l'équation différentielle résolue précédemment. La rigueur dans l'évaluation des bornes et le maniement des fractions sont essentiels.