Compétences et clés de réussite

Cet exercice du baccalauréat de mathématiques, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie (Sujet 1, 2025), se présente sous la forme classique d'un Vrai/Faux. C'est un format redouté car la simple intuition ne suffit pas : la rigueur de la justification est le véritable objet d'évaluation. L'exercice est extrêmement complet puisqu'il balaye cinq notions distinctes du programme de Terminale : les limites de fonctions logarithmiques, les équations différentielles, l'étude des suites récurrentes, la convexité et enfin le dénombrement.

1. Levée d'indétermination avec le logarithme népérien

La première affirmation teste votre capacité à déterminer la limite en l'infini d'une fonction impliquant à la fois la fonction logarithme népérien et une fonction polynôme. La forme initiale mène à une indétermination classique du type « l'infini moins l'infini ». La clé de réussite ici consiste à factoriser par le terme prépondérant, c'est-à-dire \(x^2\), afin de faire apparaître une limite de référence issue du cours sur la croissance comparée. Une maîtrise parfaite de ces limites usuelles est indispensable pour conclure sans ambiguïté.

2. Vérification d'une solution d'équation différentielle

La deuxième affirmation propose une équation différentielle linéaire du premier ordre avec un second membre trigonométrique. Plutôt que de demander la résolution complète de cette équation complexe, l'énoncé vous donne une fonction candidate et vous demande de vérifier si elle est solution. La méthode la plus directe et la plus sûre est d'abord de dériver la fonction candidate pour obtenir son expression, puis d'injecter cette fonction et sa dérivée dans le membre de gauche de l'équation différentielle. Si le résultat obtenu après simplification correspond exactement au second membre, l'affirmation est vraie.

3. Étude de la monotonie d'une suite récurrente

Pour la troisième affirmation, il s'agit d'étudier le sens de variation d'une suite définie par une relation de récurrence du type \(u_{n+1} = g(u_n)\). Plusieurs approches sont envisageables. On peut calculer les premiers termes pour formuler une conjecture, puis démontrer la décroissance par récurrence, en s'appuyant sur le sens de variation de la fonction génératrice \(g\). Il est crucial de bien dériver la fonction \(g\) impliquant un logarithme pour prouver sa stricte croissance, car c'est cette propriété qui permet de conserver l'ordre lors de l'hérédité de la récurrence.

4. Analyse de la convexité d'une fonction

La quatrième affirmation évalue vos connaissances sur la convexité. Pour étudier la convexité d'une fonction \(k\), la méthode systématique au programme de Terminale consiste à calculer sa dérivée seconde \(k''\) et à en étudier le signe. La particularité de cette question réside dans la présence d'une fonction affine \(h\). Il faut se rappeler qu'une fonction affine a une dérivée première constante, et donc une dérivée seconde nulle. L'étude se réduit alors au signe de la dérivée seconde de la partie polynomiale de degré 4.

5. Dénombrement et anagrammes avec répétitions

La dernière affirmation porte sur le dénombrement, plus spécifiquement sur le calcul du nombre d'anagrammes d'un mot. Le mot « EULER » est composé de 5 lettres, ce qui suggère a priori l'utilisation de la factorielle (permutations). Cependant, le piège classique de ce type de question est la présence de lettres identiques (ici la lettre « E » qui apparaît deux fois). Il est impératif d'ajuster le calcul pour ne pas compter plusieurs fois les mêmes permutations. La division par la factorielle du nombre de répétitions est la technique attendue ici pour corriger le résultat.

En résumé, cet exercice Vrai/Faux exige de la polyvalence et une bonne maîtrise des théorèmes fondamentaux. Rédigez chaque justification de manière concise mais complète : annoncez la méthode, déroulez les calculs clairement, et concluez toujours explicitement par « Vrai » ou « Faux ».