Introduction à l'exercice de probabilités et de dénombrement
Cet exercice, issu du Bac de mathématiques Polynésie Sujet 1 de l'année 2026, met en lumière deux thèmes incontournables du programme de spécialité mathématiques : les probabilités conditionnelles avec l'utilisation d'un arbre pondéré, et le dénombrement reposant sur l'usage des coefficients binomiaux. L'exercice, logiquement divisé en deux parties bien distinctes, évalue la capacité de l'élève à modéliser une situation concrète par des outils probabilistes avancés. On commence par la gestion du stock de planches d'une école de surf, avant de se plonger dans une mécanique de jeu impliquant un tirage aléatoire complexe.
La première partie s'attache spécifiquement à la représentation d'une situation probabiliste classique à travers un arbre, et aux calculs qui découlent des événements conditionnés. La seconde partie bascule vers une situation de tirage simultané nécessitant une solide maîtrise de la combinatoire, menant in fine à la résolution d'un problème algébrique portant sur des nombres entiers.
Compétences et clés de réussite
Pour aborder et réussir avec succès cet exercice, il est nécessaire de mobiliser un ensemble de savoir-faire spécifiques, tant dans le domaine des probabilités discrètes que dans l'algèbre et la résolution d'inéquations.
Modélisation avec un arbre de probabilités
Dans la Partie A, la première étape fondamentale consiste à traduire correctement les énoncés textuels en langage mathématique. La création et la complétion d'un arbre pondéré demandent une grande rigueur. Il convient d'identifier l'événement de départ (le type de planche : mousse ou résine), les événements secondaires, puis d'y inscrire les bonnes probabilités. Le respect absolu de la règle des nœuds, stipulant que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1, est la clé pour déterminer les probabilités manquantes.
Calculs de probabilités conditionnelles et totales
Dans la suite de cette première partie, le candidat doit démontrer sa capacité à interpréter un événement comme une intersection de deux événements simples, puis à mobiliser la définition mathématique de la probabilité conditionnelle afin de retrouver une valeur manquante sur l'arbre. Enfin, l'évaluation de l'affirmation de la gérante implique un calcul direct de probabilités totales. La maîtrise parfaite de la formule des probabilités totales permet d'estimer correctement la probabilité finale d'un événement global, comme le fait qu'une planche soit en bon état, quelle que soit sa nature.
Dénombrement et coefficients binomiaux
La Partie B marque une nette transition vers la combinatoire, en proposant un problème de tirage simultané de deux boules indiscernables au toucher. La notion centrale est ici la combinaison, traditionnellement notée à l'aide des coefficients binomiaux. L'élève doit d'abord déterminer la taille de l'univers des possibles, qui correspond au nombre total de manières de choisir 2 boules parmi les n+5 présentes dans l'urne. Il s'agit ensuite d'identifier précisément le nombre de tirages favorables, en appliquant le principe d'addition sur les cas disjoints (obtenir deux boules de même couleur).
Algèbre et résolution d'inéquation du second degré
La fin de l'exercice permet de tester l'aisance du candidat en calcul algébrique. L'objectif est de simplifier l'expression fractionnaire de la probabilité de victoire en explicitant les coefficients binomiaux à l'aide des factorielles. Après cette simplification, il convient de traduire une contrainte imposée par la gérante sous la forme d'une inéquation : la probabilité p doit être strictement inférieure à la moitié. La résolution de cette inéquation implique de se ramener à un trinôme du second degré en la variable entière n, d'en étudier le signe via le calcul du discriminant, puis de statuer rigoureusement sur les valeurs possibles de n. C'est cette combinaison de logique combinatoire et d'analyse algébrique qui permet de conclure l'exercice de manière exhaustive.