Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022, issu du Sujet 1 des Centres Étrangers, est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il combine habilement l'analyse fonctionnelle et l'étude des suites numériques, demandant aux élèves de mobiliser des connaissances transversales.

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

La première partie se concentre sur une fonction $h$ faisant intervenir l'exponentielle ($e^x - x$). Les compétences requises ici sont standards mais fondamentales :

• Calcul de limites : Il faut savoir lever une forme indéterminée en $+\infty$, souvent par factorisation, et connaître les limites usuelles de la fonction exponentielle (croissance comparée).
• Étude des variations : Le calcul de la dérivée est immédiat, mais l'étude de son signe permet de dresser le tableau de variations complet de la fonction.
• Comparaison d'images : L'objectif final de cette partie est d'exploiter la stricte monotonie de la fonction sur un intervalle donné pour comparer $h(a)$ et $h(b)$. C'est une étape clé qui servira de lemme pour la suite de l'exercice.

Partie B : Lien géométrique et suites

Cette partie applique les résultats précédents à un problème géométrique : l'écart entre la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente.

• Équation de tangente : La maîtrise de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est indispensable pour déterminer l'équation de la droite $T$ au point d'abscisse 0.
• Passage de la fonction à la suite : L'exercice introduit une suite $(u_n)$ définie à partir de la fonction exponentielle évaluée en $1/n$. L'élève doit être capable de calculer la limite de cette suite en composant les limites.
• Variations de la suite : C'est le point technique de l'exercice. Plutôt que de calculer $u_{n+1} - u_n$ de manière brute, l'énoncé guide le candidat pour exprimer cette différence à l'aide de la fonction $h$ étudiée en Partie A. La réussite dépend de la capacité à reconnaître la structure $h(1/n)$ et à utiliser le résultat de comparaison obtenu précédemment (Partie A, question 3).
• Interprétation numérique : Enfin, l'exercice demande une lecture critique d'un tableau de valeurs pour résoudre une inéquation liée à l'écart entre la courbe et la tangente, reliant ainsi l'abstrait au concret.

En résumé, cet exercice valorise la rigueur dans l'étude de fonctions et la capacité à utiliser une fonction auxiliaire pour déterminer le sens de variation d'une suite.