Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2022 (Centres Étrangers, Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format exige une maîtrise rapide et précise de plusieurs notions d'analyse, car aucune justification n'est demandée sur la copie. Cependant, la réussite dépend entièrement de la qualité du brouillon. Voici les points clés pour aborder chaque question.

Analyse fonctionnelle et équations logarithmiques

La première question traite de la résolution d'équation impliquant le logarithme népérien. L'élève doit être capable d'analyser la parité de la fonction et ses variations. Il est crucial de vérifier si la valeur cible (ici 2022) appartient à l'ensemble image de la fonction. L'étude rapide des limites ou du tableau de variation permet souvent d'éliminer les mauvaises réponses.

Convexité et point d'inflexion

La seconde question aborde la convexité. La méthode canonique consiste à calculer la dérivée seconde de la fonction donnée. Il faut savoir dériver un produit de la forme $u \times v$ et manipuler les dérivées successives. Le signe de la dérivée seconde sur l'intervalle donné indique la convexité (positive pour convexe, négative pour concave), et l'annulation de cette dérivée seconde en changeant de signe signale la présence d'un point d'inflexion.

Calcul intégral et primitives

Pour la troisième question, l'objectif est d'identifier une primitive. Plutôt que d'intégrer formellement (ce qui peut être complexe), une astuce efficace en QCM consiste à dériver les propositions pour voir laquelle redonne la fonction $f$. Néanmoins, reconnaître la forme $\frac{u'}{u}$ ou ses variantes est une compétence essentielle pour gagner du temps.

Domaines de définition et Inéquations

Les questions suivantes testent la rigueur sur les ensembles de définition :

• Pour le domaine de définition d'un logarithme composé $\ln(u(x))$, il faut impérativement résoudre l'inéquation $u(x) > 0$. Ici, cela implique la résolution d'une inéquation du second degré (signe du trinôme).
• Pour l'inéquation logarithmique finale, la clé est de gérer les conditions d'existence avant toute transformation algébrique. Une fois le domaine établi, on utilise la stricte croissance de la fonction exponentielle ou les propriétés du type $n \ln(a) = \ln(a^n)$ pour résoudre l'inégalité.

Équation de tangente

Enfin, le calcul de la tangente nécessite une application directe et sans erreur de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Il faut être vigilant lors du calcul de la dérivée, notamment avec les fonctions composées (dérivée de $\ln(ax+b)$).