Analyse du sujet : Probabilités et jeu de hasard

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Zone Asie) propose une situation concrète basée sur une application de jeu sur smartphone nommée « Tickets cœurs ». Il permet d'évaluer la capacité des élèves à modéliser une situation aléatoire simple avant d'étudier sa répétition. Le problème est progressif, débutant par une phase de dénombrement combinatoire pour aboutir à l'utilisation de la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Spécialité Mathématiques :

• Dénombrement et Combinaisons : La première question nécessite de justifier le nombre total de configurations possibles. Il s'agit de placer 3 objets identiques dans 9 cases, ce qui fait appel au calcul des combinaisons (coefficient binomial $\binom{n}{k}$). Une lecture attentive de la géométrie de la grille (3x3) est indispensable.
• Probabilités Classiques : L'élève doit être capable de dénombrer les cas favorables (cœurs alignés en ligne, colonne ou diagonale) pour en déduire la probabilité de gagner. La rigueur dans l'énumération des configurations gagnantes est la clé pour obtenir la fraction correcte.
• Variable Aléatoire et Jeu Équitable : L'exercice introduit une dimension financière (mise et gain). Il faut savoir définir la variable aléatoire correspondant au gain algébrique, établir sa loi de probabilité et calculer son espérance mathématique. L'interprétation du signe de l'espérance permet de conclure si le jeu est favorable au joueur ou à l'organisateur.
• Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale : La dernière partie traite de la répétition de l'expérience de manière indépendante. Il est impératif de savoir identifier les paramètres de la loi binomiale ($n=20$ répétitions et la probabilité $p$ de succès trouvée précédemment). Les calculs demandés impliquent l'utilisation de la calculatrice pour $P(X=k)$ et la maîtrise de l'événement contraire pour calculer la probabilité d'obtenir « au moins un » ticket gagnant ($P(X \geqslant 1) = 1 - P(X=0)$).

En résumé, cet exercice 8 est un excellent entraînement couvrant l'ensemble du chapitre sur les probabilités discrètes, nécessitant à la fois intuition géométrique et rigueur calculatoire.