Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la filière technologique (Niveau Première) porte sur le traitement de données statistiques et le calcul de probabilités. Il se décompose en deux problématiques : l'utilisation d'un tableau de contingence pour calculer des probabilités simples et conditionnelles, et l'étude d'une variable aléatoire discrète modélisant le nombre de pièces d'un logement.

Points de vigilance et notions requises

• Lecture de tableau : Il est crucial de ne pas confondre les effectifs partiels avec l'effectif total (100 ici) selon que l'on calcule une probabilité d'intersection ou une probabilité conditionnelle.
• Intersection (\(\cap\)) : Représente l'événement où deux conditions sont réalisées simultanément.
• Probabilité conditionnelle : Notée \(P_A(B)\), elle restreint l'univers de référence à l'événement A.
• Espérance mathématique : Notée \(E(X)\), elle représente la moyenne pondérée des valeurs de la variable aléatoire.

Guide de résolution et Correction

Partie 1 : Probabilités classiques

1. Probabilité sans enfant et ne vivant pas en couple : L'énoncé indique que 35 personnes sont sans enfant parmi celles ne vivant pas en couple (la moitié de 70). Sur un total de 100 personnes, la probabilité est \(P = \frac{35}{100} = 0,35\).

2. Calcul de \(P(C \cap \overline{E})\) : L'événement \(C\) est « vit en couple » et \(\overline{E}\) est « sans enfant ». Dans le tableau, l'intersection de la ligne 'couple' et de la colonne 'sans enfant' donne 12 personnes. Donc \(P(C \cap \overline{E}) = \frac{12}{100} = 0,12\). Interprétation : La probabilité de choisir une personne vivant en couple sans enfant est de 12 %.

3. Probabilité conditionnelle : On cherche la probabilité de ne pas vivre en couple sachant que la personne a au moins un enfant (\(P_E(\overline{C})\)). L'effectif total des personnes ayant au moins un enfant est de 53. Parmi elles, 35 ne vivent pas en couple. Ainsi, \(P_E(\overline{C}) = \frac{35}{53} \approx 0,66\).

Partie 2 : Variable aléatoire X

a) Loi de probabilité de X :
\(P(X=1) = 0,07\) ; \(P(X=2) = 0,20\) ; \(P(X=3) = 0,40\) ; \(P(X=4) = 0,25\) ; \(P(X=5) = 0,08\). La somme est bien égale à 1.

b) Calcul de \(P(X \geqslant 2)\) : On peut faire \(1 - P(X=1) = 1 - 0,07 = 0,93\). Interprétation : 93 % des logements du parc social possèdent au moins deux pièces.

c) Espérance \(E(X)\) :
\(E(X) = (1 \times 0,07) + (2 \times 0,20) + (3 \times 0,40) + (4 \times 0,25) + (5 \times 0,08)\)
\(E(X) = 0,07 + 0,40 + 1,20 + 1,00 + 0,40 = 3,07\).
Interprétation : En moyenne, un logement social en France compte environ 3,07 pièces.