Analyse de l'énoncé
Cet exercice de la session 2026 pour la zone Antilles cible des compétences fondamentales du programme de Mathématiques de Première Technologique. Il se divise en trois problématiques distinctes : l'étude du signe d'une fonction polynomiale de degré 3, l'application de la dérivation pour déterminer une tangente et étudier les variations, et enfin l'utilisation des propriétés géométriques (symétrie) d'une parabole pour identifier une expression algébrique.
Points de vigilance et notions requises
- Signe d'un produit : Pour un polynôme factorisé, il est crucial d'étudier le signe de chaque facteur séparément avant de conclure sur l'intervalle donné.
- Dérivation et Tangente : La formule de l'équation de la tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur. Le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation est l'outil majeur de l'analyse en Première.
- Symétrie de la parabole : Pour une fonction du second degré $g(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$, l'axe de symétrie se situe à la moyenne arithmétique des racines : $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
Correction détaillée
1. Affirmation 1 : Fausse
On étudie le signe de $f(x) = 2(x+1)(x-3)(x-5)$ sur l'intervalle $[-1 ; 3]$.
Sur $[-1 ; 3]$ :
- Le facteur $2$ est positif.
- $(x+1) \geq 0$ car $x \geq -1$.
- $(x-3) \leq 0$ car $x \leq 3$.
- $(x-5) \leq 0$ car $x$ est bien inférieur à 5.
Par produit, un nombre positif multiplié par un positif et deux négatifs donne un résultat
positif. Par exemple, $f(0) = 2(1)(-3)(-5) = 30 > 0$. L'affirmation est donc fausse.
2. Affirmation 2 : Vraie
Soit $h(x) = -3x^2 + 12x - 4$. Calculons la dérivée : $h'(x) = -6x + 12$.
Pour l'abscisse 1 :
- $h(1) = -3(1)^2 + 12(1) - 4 = 5$.
- $h'(1) = -6(1) + 12 = 6$.
L'équation de la tangente est $y = h'(1)(x-1) + h(1) = 6(x-1) + 5 = 6x - 6 + 5 = 6x - 1$. L'affirmation est vraie.
3. Affirmation 3 : Fausse
La fonction $h$ est une fonction du second degré avec $a = -3 < 0$. La parabole est tournée vers le bas. Le sommet a pour abscisse $x_S = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \times (-3)} = 2$.
La fonction est croissante sur $]-\infty ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; +\infty[$. L'affirmation est donc fausse.
4. Affirmation 4 : Vraie
On sait que 2 est une racine, donc $x_1 = 2$. L'axe de symétrie est $x = 2,5$.
On utilise la propriété du milieu : $2,5 = \frac{2 + x_2}{2}$, ce qui donne $5 = 2 + x_2$, d'où $x_2 = 3$.
L'expression est $g(x) = (x-2)(x-3)$.
Calculons $g(0) = (0-2)(0-3) = (-2) \times (-3) = 6$. L'affirmation est vraie.