Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la filière technologique porte sur l'étude d'une fonction du second degré $f(x) = -0,5x^2 + x + 7,5$. Il combine deux piliers du programme : l'étude algébrique (factorisation et racines) et l'étude analytique (nombre dérivé et variations via la tangente).

Points de vigilance

• Calcul de la pente : Pour le nombre dérivé, il faut utiliser la formule du coefficient directeur $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec les points donnés sur la tangente.
• Signe et variations : Ne pas confondre le signe de la fonction $f(x)$ (position par rapport à l'axe des abscisses) et le signe de sa dérivée $f'(x)$ (sens de variation de la courbe).
• Justification : L'énoncé impose une justification par le calcul ou par lecture graphique ; soyez précis dans vos lectures de points.

Correction Détaillée

1. Vérification de la forme factorisée

Développons l'expression $(0,5x + 1,5)(-x + 5)$ :
$(0,5x \times -x) + (0,5x \times 5) + (1,5 \times -x) + (1,5 \times 5)$
$= -0,5x^2 + 2,5x - 1,5x + 7,5$
$= -0,5x^2 + x + 7,5$.
On retrouve bien l'expression de $f(x)$.

2. Détermination du nombre dérivé $f'(3)$

Le nombre dérivé $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 3. Utilisons les points $(3 ; 6)$ et $(4 ; 4)$ fournis :
$f'(3) = \frac{4 - 6}{4 - 3} = \frac{-2}{1} = -2$.

3. Analyse des affirmations

• Affirmation a (Fausse) : $f(x) \leq 0$ signifie que la courbe est sous l'axe des abscisses. D'après la forme factorisée, les racines sont $-3$ et $5$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($-0,5$), la parabole est positive *entre* les racines. Donc $f(x) \leq 0$ sur $[-4 ; -3] \cup [5 ; 6]$.
• Affirmation b (Fausse) : $f'(x)$ est positif quand la fonction est croissante. La fonction atteint son sommet en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \times -0,5} = 1$. Elle est croissante sur $[-4 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; 6]$. Sur $[1 ; 4]$, la fonction décroît, donc $f'(x)$ est négatif.