Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la filière technologique porte sur l'étude d'une fonction du second degré \(f(x) = -0,5x^2 + x + 7,5\). Il combine deux piliers du programme : l'étude algébrique (factorisation et racines) et l'étude analytique (nombre dérivé et variations via la tangente).

Points de vigilance

• Calcul de la pente : Pour le nombre dérivé, il faut utiliser la formule du coefficient directeur \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) avec les points donnés sur la tangente.
• Signe et variations : Ne pas confondre le signe de la fonction \(f(x)\) (position par rapport à l'axe des abscisses) et le signe de sa dérivée \(f'(x)\) (sens de variation de la courbe).
• Justification : L'énoncé impose une justification par le calcul ou par lecture graphique ; soyez précis dans vos lectures de points.

Correction Détaillée

1. Vérification de la forme factorisée

Développons l'expression \((0,5x + 1,5)(-x + 5)\) :
\((0,5x \times -x) + (0,5x \times 5) + (1,5 \times -x) + (1,5 \times 5)\)
\(= -0,5x^2 + 2,5x - 1,5x + 7,5\)
\(= -0,5x^2 + x + 7,5\).
On retrouve bien l'expression de \(f(x)\).

2. Détermination du nombre dérivé \(f'(3)\)

Le nombre dérivé \(f'(3)\) est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 3. Utilisons les points \((3 ; 6)\) et \((4 ; 4)\) fournis :
\(f'(3) = \frac{4 - 6}{4 - 3} = \frac{-2}{1} = -2\).

3. Analyse des affirmations

• Affirmation a (Fausse) : \(f(x) \leq 0\) signifie que la courbe est sous l'axe des abscisses. D'après la forme factorisée, les racines sont \(-3\) et \(5\). Comme le coefficient de \(x^2\) est négatif (\(-0,5\)), la parabole est positive *entre* les racines. Donc \(f(x) \leq 0\) sur \([-4 ; -3] \cup [5 ; 6]\).
• Affirmation b (Fausse) : \(f'(x)\) est positif quand la fonction est croissante. La fonction atteint son sommet en \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \times -0,5} = 1\). Elle est croissante sur \([-4 ; 1]\) et décroissante sur \([1 ; 6]\). Sur \([1 ; 4]\), la fonction décroît, donc \(f'(x)\) est négatif.