Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la filière technologique porte sur deux piliers majeurs du programme de Première : la dérivation et l'étude des fonctions du second degré. L'objectif est de faire le lien entre la lecture graphique (interprétation de la pente d'une tangente) et le calcul algébrique (dérivée et factorisation).

Points de vigilance et notions clés

• Nombre dérivé : Rappelez-vous que $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
• Tangente horizontale : Si la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, alors le nombre dérivé est nul ($f'(x) = 0$).
• Lecture de pente : Pour la droite $(d)$, on utilise la formule $m = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}$.
• Second degré : La forme $ax^2 + bx + c$ permet de calculer facilement la dérivée $2ax + b$.

Correction détaillée

1. Lecture graphique

En observant les points A et B sur le repère :
• $f(-2) = -5$ (ordonnée du point A).
• $f(1) = 4$ (ordonnée du point B).

2. Nombres dérivés

• Pour $f'(-2)$, on calcule la pente de la tangente $(d)$ passant par $A(-2; -5)$ et $C(-1; 1)$ :
$m = \frac{1 - (-5)}{-1 - (-2)} = \frac{6}{1} = 6$. Donc $f'(-2) = 6$.
• Pour $f'(1)$, la tangente en B est horizontale, donc son coefficient directeur est nul : $f'(1) = 0$.

3. Résolution de $f(x)=0$

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses. Graphiquement, on lit : $S = \{-1 ; 3\}$.

4. Étude algébrique

Soit $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.
• Dérivée : En appliquant les formules usuelles, $f'(x) = -2x + 2$.
• Vérification : $f'(1) = -2(1) + 2 = 0$ et $f'(-2) = -2(-2) + 2 = 4 + 2 = 6$. Les résultats concordent.
• Factorisation : Développons $(x+1)(-x+3) = -x^2 + 3x - x + 3 = -x^2 + 2x + 3$. On retrouve bien $f(x)$. Les racines sont donc bien $-1$ et $3$.

Synthèse des variations

La dérivée $f'(x) = -2x + 2$ est une fonction affine décroissante. Elle s'annule en $x=1$, est positive avant 1 et négative après. La fonction $f$ est donc croissante sur $[-3 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; 4]$, avec un maximum de 4 atteint en $x=1$.