Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Technologique porte sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré. Il combine une approche graphique (lecture d'image et de nombre dérivé) et une approche algébrique (calcul de dérivée, factorisation et tableau de variations). C'est un exercice type du Baccalauréat qui évalue la capacité à faire le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture graphique : Le nombre dérivé $f'(3)$ correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente $T$ au point d'abscisse 3.
• Calcul de dérivée : Rappel des formules : $(x^n)' = nx^{n-1}$ et $(ax^n)' = anx^{n-1}$. Pour $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 16$, on dérive chaque terme séparément.
• Lien Dérivée/Variations : Si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante. Si $f'(x) < 0$, la fonction est décroissante.
• Second degré : Pour étudier le signe de $f'(x) = -3(x-2)(x-4)$, on utilise la règle du signe d'un trinôme (ici, les racines sont 2 et 4).

Correction détaillée

1. Lecture graphique :
a) L'image de 3 est l'ordonnée du point A. On lit $f(3) = -2$.
b) Pour $f'(3)$, on calcule la pente de $T$. En partant de A(3 ; -2), si on avance de 0,5 en abscisse, on monte de 2 en ordonnée pour atteindre le point (3,5 ; 0). La pente est donc $2 / 0,5 = 4$. Ainsi, $f'(3) = 4$.

2. Étude algébrique :
a) $f(0) = -0^3 + 9 \times 0^2 - 24 \times 0 + 16 = 16$.
b) $f'(x) = -3x^2 + 9(2x) - 24 = -3x^2 + 18x - 24$.
c) Développons $-3(x-2)(x-4) = -3(x^2 - 4x - 2x + 8) = -3(x^2 - 6x + 8) = -3x^2 + 18x - 24$. On retrouve bien l'expression de $f'(x)$.

3. Variations :
Le coefficient devant $x^2$ est négatif (-3). La parabole représentant la dérivée est tournée vers le bas. $f'(x)$ est donc négative à l'extérieur des racines [2 ; 4] et positive entre les racines. Sur $[0 ; 4]$, $f'$ est négative sur $[0 ; 2]$ et positive sur $[2 ; 4]$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0 ; 2]$ puis croissante sur $[2 ; 4]$.
Extrémums : $f(0)=16$, $f(2)=-4$ (minimum), $f(4)=0$ (maximum local). Le minimum est -4, atteint en $x=2$.