Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Enseignement Spécifique porte sur le chapitre des probabilités. L'énoncé s'appuie sur une situation concrète : la gestion d'un stock de graines (basilic et estragon) et leur capacité de germination. Il demande aux élèves de manipuler un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) pour extraire des fréquences et calculer des probabilités simples, d'intersections et surtout des probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture du tableau : Il est crucial de ne pas confondre le total global (1000) avec les totaux marginaux (lignes ou colonnes) lors du calcul des probabilités conditionnelles.
• Intersection (∩) vs Conditionnelle : Rappelez-vous que \(P(E \cap G)\) représente la probabilité que les deux événements se produisent simultanément sur l'ensemble de la population, tandis que \(P_G(E)\) restreint l'univers à l'événement \(G\).
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si et seulement si \(P_A(B) = P(B)\) ou \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).

Correction détaillée

1. Calcul de x et y :
Dans la colonne 'Graines qui germent', on a \(x + 100 = 250\), d'où \(x = 150\).
Dans la colonne 'Graines d'estragon', on a \(100 + y = 400\), d'où \(y = 300\).
Interprétation : 150 graines de basilic germent et 300 graines d'estragon ne germent pas.

2. Probabilités :
a) \(P(B) = \frac{600}{1000} = 0,6\) et \(P(E) = \frac{400}{1000} = 0,4\).
b) \(E \cap G\) : « la graine est une graine d'estragon ET elle germe ». \(P(E \cap G) = \frac{100}{1000} = 0,1\).
c) On cherche \(P_G(E)\). On sait que la graine a germé (total = 250). Parmi elles, 100 sont de l'estragon. \(P_G(E) = \frac{100}{250} = 0,4\).
d) On cherche \(P_E(G)\). La graine est de l'estragon (total = 400). Parmi elles, 100 germent. \(P_E(G) = \frac{100}{400} = 0,25\).

3. Test d'indépendance :
La probabilité globale qu'une graine germe est \(P(G) = \frac{250}{1000} = 0,25\).
On a calculé \(P_E(G) = 0,25\). Puisque \(P_E(G) = P(G)\), la germination ne dépend pas du type de graine. L'affirmation du jardinier est vraie.