Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Enseignement Spécifique porte sur le chapitre des probabilités. L'énoncé s'appuie sur une situation concrète : la gestion d'un stock de graines (basilic et estragon) et leur capacité de germination. Il demande aux élèves de manipuler un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) pour extraire des fréquences et calculer des probabilités simples, d'intersections et surtout des probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture du tableau : Il est crucial de ne pas confondre le total global (1000) avec les totaux marginaux (lignes ou colonnes) lors du calcul des probabilités conditionnelles.
• Intersection (∩) vs Conditionnelle : Rappelez-vous que $P(E \cap G)$ représente la probabilité que les deux événements se produisent simultanément sur l'ensemble de la population, tandis que $P_G(E)$ restreint l'univers à l'événement $G$.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$ ou $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Correction détaillée

1. Calcul de x et y :
Dans la colonne 'Graines qui germent', on a $x + 100 = 250$, d'où $x = 150$.
Dans la colonne 'Graines d'estragon', on a $100 + y = 400$, d'où $y = 300$.
Interprétation : 150 graines de basilic germent et 300 graines d'estragon ne germent pas.

2. Probabilités :
a) $P(B) = \frac{600}{1000} = 0,6$ et $P(E) = \frac{400}{1000} = 0,4$.
b) $E \cap G$ : « la graine est une graine d'estragon ET elle germe ». $P(E \cap G) = \frac{100}{1000} = 0,1$.
c) On cherche $P_G(E)$. On sait que la graine a germé (total = 250). Parmi elles, 100 sont de l'estragon. $P_G(E) = \frac{100}{250} = 0,4$.
d) On cherche $P_E(G)$. La graine est de l'estragon (total = 400). Parmi elles, 100 germent. $P_E(G) = \frac{100}{400} = 0,25$.

3. Test d'indépendance :
La probabilité globale qu'une graine germe est $P(G) = \frac{250}{1000} = 0,25$.
On a calculé $P_E(G) = 0,25$. Puisque $P_E(G) = P(G)$, la germination ne dépend pas du type de graine. L'affirmation du jardinier est vraie.