Analyse de l'énoncé

Cet exercice de spécialité mathématiques porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte concret de vie lycéenne. L'enjeu principal est de savoir traduire un énoncé textuel en notations mathématiques rigoureuses et de structurer les données à l'aide d'un arbre pondéré. Les élèves doivent maîtriser la lecture des probabilités de base ainsi que les probabilités 'sachant'.

Points de vigilance et notions clés

• Traduction de l'énoncé : 'parmi les élèves ayant choisi A' indique une probabilité conditionnelle ($P_A$).
• Loi des nœuds : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Formule de Bayes (simplifiée) : Savoir calculer $P_S(A)$ qui nécessite la formule $P(A \cap S) / P(S)$.
• Indépendance : Deux méthodes possibles : comparer $P(A \cap S)$ avec $P(A) \times P(S)$, ou comparer $P_A(S)$ avec $P(S)$.

Correction détaillée

1. Détermination des probabilités conditionnelles :
D'après l'énoncé : 'parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques (A), 20 % ont choisi le sport (S)', donc $P_A(S) = 0,20$.
'Parmi les élèves n'ayant pas choisi d'activités artistiques, 40 % ont choisi le sport', donc $P_{\overline{A}}(S) = 0,40$.

2. Arbre pondéré :
La première branche $P(A) = 0,4$, donc $P(\overline{A}) = 1 - 0,4 = 0,6$.
À partir de A : $P_A(S) = 0,2$ et $P_A(\overline{S}) = 0,8$.
À partir de $\overline{A}$ : $P_{\overline{A}}(S) = 0,4$ et $P_{\overline{A}}(\overline{S}) = 0,6$.

3. Calcul des intersections :
$P(A \cap S) = P(A) \times P_A(S) = 0,4 \times 0,2 = 0,08$.
$P(\overline{A} \cap S) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(S) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$.

4. Probabilité inversée :
$P_S(A) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{0,08}{0,32} = 0,25$.
Interprétation : Sachant que l'élève pratique une activité sportive, il y a 25 % de chances qu'il pratique également une activité artistique.

5. Test d'indépendance :
On compare $P(A \cap S) = 0,08$ et $P(A) \times P(S) = 0,4 \times 0,32 = 0,128$.
Comme $0,08 \neq 0,128$, les événements A et S ne sont pas indépendants.