Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques, extrait du sujet Métropole 2026 pour la spécialité mathématiques en Première, porte sur les probabilités au sein d'une population finie. L'énoncé présente une situation concrète : la répartition de 120 sportifs de haut niveau selon leur section (judo ou aquatique) et leur niveau scolaire (seconde, première, terminale). L'objectif est de mobiliser les outils d'analyse de données croisées pour calculer des probabilités simples, des probabilités conditionnelles et vérifier l'indépendance de deux évènements.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont attendues :

• Lecture d'un tableau à double entrée : Il faut savoir compléter les cases vides par soustraction ou addition en utilisant les totaux de lignes et de colonnes.
• Intersection d'évènements : Comprendre que l'évènement $A \cap B$ correspond à la réalisation simultanée des deux critères.
• Probabilités conditionnelles : Savoir restreindre l'univers de référence à une sous-population (exemple : calculer parmi les élèves de seconde uniquement).
• Test d'indépendance : Utiliser la définition mathématique $P_T(J) = P(J)$ ou $P(J \cap T) = P(J) \times P(T)$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Complétion du tableau :
En partant des données fournies :
- Dans la colonne Terminale, le total est 14 et Judo-Terminale est 8, donc Aquatique-Terminale = 14 - 8 = 6.
- Pour la ligne Judo, le total est 24. On a déjà 8 en Terminale. Pour trouver Seconde-Judo, on regarde la colonne Seconde : Total 50, Aquatique 40, donc Seconde-Judo = 50 - 40 = 10.
- Ensuite, Première-Judo = 24 - (10 + 8) = 6.
- Pour le total Aquatique : 120 (total général) - 24 (total judo) = 96.
- Première-Aquatique = 96 - (40 + 6) = 50.
- Total Première = 6 + 50 = 56.

2. Évènement $A \cap S$ :
L'évènement $A \cap S$ signifie : « l'élève choisi est en section aquatique ET en classe de seconde ». D'après le tableau, il y a 40 élèves dans ce cas sur un total de 120. $P(A \cap S) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$.

3. Probabilité sachant $S$ :
On cherche $P_S(A)$. Ici, l'univers est réduit aux 50 élèves de seconde. Parmi eux, 40 sont en section aquatique. $P_S(A) = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$.

4. Étude de l'indépendance :
a) $P(J) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} = 0,2$.
b) $P_T(J)$ correspond à la probabilité d'être en judo parmi les 14 élèves de terminale : $P_T(J) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \approx 0,57$.
c) On constate que $P_T(J) \neq P(J)$. La proportion de judokas chez les terminales est différente de la proportion globale. Les évènements $J$ et $T$ ne sont donc pas indépendants.