Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité porte sur les probabilités au sein d'une population finie, représentée par un tableau croisé (tableau de contingence). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à lire des données, calculer des probabilités simples, des intersections et surtout à manipuler les probabilités conditionnelles ainsi que la notion d'indépendance.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture du tableau : Il faut bien distinguer l'effectif total (200) de l'effectif d'un sous-groupe (ex: les femmes sont 100).
• Probabilité de l'intersection ($P(A \cap B)$) : On rapporte l'effectif de la case à l'intersection des deux critères au total général.
• Indépendance : Deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
• Probabilité conditionnelle : $P_A(B)$ se calcule en restreignant l'univers à l'évènement $A$. On utilise la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ou directement les effectifs du tableau.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul de $P(F)$ :
Le tableau indique qu'il y a 100 femmes sur un total de 200 adhérents. $P(F) = \frac{100}{200} = 0,5$.

2. Probabilité de l'homme pratiquant le step ($H \cap S$) :
Il y a 20 hommes pratiquant le step. Ainsi, $P(H \cap S) = \frac{20}{200} = 0,1$.

3. Probabilité de $F \cap S$ :
Il y a 60 femmes pratiquant le step. $P(F \cap S) = \frac{60}{200} = 0,3$.

4. Test d'indépendance :
Calculons $P(F) \times P(S)$. Nous savons que $P(F) = 0,5$. Le nombre total d'adhérents pratiquant le step est 80, donc $P(S) = \frac{80}{200} = 0,4$.
On a $P(F) \times P(S) = 0,5 \times 0,4 = 0,2$.
Or, $P(F \cap S) = 0,3$. Comme $P(F \cap S) \neq P(F) \times P(S)$, les évènements $F$ et $S$ ne sont pas indépendants.

5. Probabilité sachant que c'est une femme :
On restreint l'univers aux 100 femmes. Parmi elles, 40 font du crossfit. La probabilité est donc $\frac{40}{100} = 0,4$.

6. Calcul de $P_C(F)$ :
Il s'agit de la probabilité que l'adhérent soit une femme sachant qu'il pratique le crossfit. Il y a 120 adhérents en crossfit, dont 40 femmes. $P_C(F) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.