Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice de Mathématiques de Première Enseignement Spécifique, issu du sujet de Polynésie 2026, propose une application concrète des fonctions polynomiales de degré 3 dans un contexte de modélisation sanitaire. L'objectif principal est de vérifier la capacité de l'élève à faire le lien entre l'aspect visuel d'une courbe et l'analyse rigoureuse par la dérivation.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs points de cours doivent être parfaitement maîtrisés :

• Lecture graphique : Savoir identifier l'image d'un nombre (ordonnée) et rechercher un extremum (le pic de la courbe).
• Calcul de dérivée : Utiliser la règle de dérivation des puissances : $(x^n)' = nx^{n-1}$. Pour $f(x) = -x^3 + 12x^2 + 4$, on applique la dérivation terme à terme.
• Factorisation : Savoir factoriser une expression pour étudier son signe. Ici, la factorisation par $3x$ transforme un polynôme du second degré en un produit de facteurs du premier degré.
• Lien entre signe de la dérivée et variations : C'est le cœur du programme de Première. Si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante. Si $f'(x) < 0$, elle est décroissante.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Approche Graphique :

• f(5) : En plaçant l'abscisse 5 sur l'axe des semaines et en remontant jusqu'à la courbe $\mathcal{C}_f$, on lit une ordonnée proche de 180. Interprétation : à la 5ème semaine, on observe environ 180 malades.
• Le pic : Le sommet de la courbe est atteint pour $x = 8$. La valeur correspondante sur l'axe des ordonnées est environ 260 malades.

2. Étude Algébrique :

a) Calcul de $f(1) = -(1)^3 + 12(1)^2 + 4 = -1 + 12 + 4 = 15$. Après une semaine, il y a 15 malades déclarés.

b) Dérivation : $f'(x) = -3x^2 + 12 \times 2x + 0 = -3x^2 + 24x$. En factorisant par $3x$, on obtient $3x(-x + 8)$. Cette forme est idéale pour le tableau de signes.

c) Tableau de variations :
- Sur $[0 ; 12]$, le terme $3x$ est toujours positif (ou nul en 0).
- Le terme $(-x + 8)$ est positif quand $x < 8$, nul en $x = 8$ et négatif quand $x > 8$.
- Par conséquent, $f'(x)$ est positive sur $[0 ; 8]$ (fonction croissante) et négative sur $[8 ; 12]$ (fonction décroissante).

d) Valeur exacte du pic : On utilise l'aide au calcul fournie. $f(8) = -8^3 + 12 \times 8^2 + 4 = -512 + 768 + 4 = 260$. Le pic de l'épidémie est donc de 260 malades exactement à la 8ème semaine.