Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynomiale du troisième degré, une compétence fondamentale du programme de Première Enseignement Spécifique. L'objectif est de mobiliser les outils de la dérivation pour déterminer les variations de la fonction $f$. L'énoncé guide l'élève à travers quatre étapes classiques : calcul de la dérivée, vérification par factorisation, étude du signe et conclusion sur la croissance de la fonction.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les règles de dérivation usuelles : la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation (somme et produit par un réel). Un point crucial est la vérification de la forme factorisée : il est souvent plus simple de développer la forme proposée dans l'énoncé pour retrouver son résultat que de tenter de factoriser directement un polynôme du second degré. Enfin, n'oubliez pas que le signe de la dérivée $f'(x)$ détermine directement le sens de variation de la fonction $f$ : si $f'(x) > 0$, $f$ est croissante ; si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante.

Correction détaillée

• 1. Calcul de la dérivée : La fonction $f$ est une somme de termes de la forme $ax^n$. On dérive terme à terme : $f'(x) = -3x^2 + 4,5 \times 2x - 6 + 0$, soit $f'(x) = -3x^2 + 9x - 6$.
• 2. Vérification de la forme factorisée : Développons l'expression $(3x-6)(1-x)$.
  $(3x-6)(1-x) = 3x - 3x^2 - 6 + 6x = -3x^2 + 9x - 6$. On retrouve bien l'expression de $f'(x)$ calculée précédemment.
• 3. Étude du signe de $f'(x)$ : $f'(x)$ est un produit de deux facteurs affines. Étudions l'annulation de chaque facteur :
  $3x-6 = 0 \iff x = 2$ et $1-x = 0 \iff x = 1$.
  Sur l'intervalle $[0 ; 10]$, nous pouvons dresser un tableau de signes. Le coefficient dominant du polynôme du second degré est $-3$ (négatif), la parabole est tournée vers le bas. Ainsi, $f'(x)$ est positive entre ses racines $[1 ; 2]$ et négative à l'extérieur.
• 4. Variations de la fonction $f$ : D'après l'étude de signe :
  
  • $f$ est décroissante sur $[0 ; 1]$ car $f'(x) \le 0$.
  • $f$ est croissante sur $[1 ; 2]$ car $f'(x) \ge 0$.
  • $f$ est décroissante sur $[2 ; 10]$ car $f'(x) \le 0$.