Analyse de l'énoncé : La dérivation comme outil de modélisation
Cet exercice, issu du sujet d'Asie 2026 pour le niveau Première Enseignement Spécifique, porte sur l'application concrète du calcul différentiel. L'objectif est de lier la notion mathématique de nombre dérivé à la notion physique de vitesse (ici, la vitesse de croissance de Juliette). La fonction $f$ représente la taille en centimètres en fonction de l'âge en années. Le graphique fournit non seulement la courbe représentative $\mathcal{C}_f$, mais également trois tangentes stratégiques aux points A, B et C, permettant une lecture directe des coefficients directeurs.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :
- Lecture graphique : Savoir identifier l'image d'une valeur (ordonnée d'un point) et le nombre dérivé (coefficient directeur de la tangente).
- Interprétation de $f'(a)$ : Se rappeler que $f'(a)$ correspond à la pente de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Plus la pente est forte, plus la fonction croît rapidement.
- Tangente horizontale : Une tangente horizontale indique que le nombre dérivé est nul ($f'(a) = 0$). Dans ce contexte, cela signifie que la croissance s'est arrêtée.
Correction détaillée et Guide de résolution
Voici le raisonnement pas à pas pour répondre aux questions posées :
1. Estimation de la taille à 14 ans
On cherche la valeur de $f(14)$. Sur le graphique, nous repérons l'abscisse $t = 14$ et le point B correspondant sur la courbe. En lisant son ordonnée sur l'axe vertical, nous constatons que Juliette mesure environ 160 cm à l'âge de 14 ans.
2. Comparaison des vitesses de croissance à 12 et 14 ans
La vitesse de croissance est donnée par $f'(t)$, soit la pente de la tangente. Observons les tangentes aux points A ($t=12$) et B ($t=14$) :
En A, la tangente est nettement plus « inclinée » vers le haut qu'en B. On peut estimer le coefficient directeur en calculant $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ pour chaque droite tracée. La pente en A est plus élevée que la pente en B. Par conséquent, Juliette grandissait plus vite à 12 ans qu'à 14 ans.
3. Fin de la croissance à 17 ans
On observe qu'au point C ($t=17$), la tangente représentée est une droite horizontale. Mathématiquement, cela signifie que $f'(17) = 0$. Puisque la vitesse de croissance est nulle, la taille ne varie plus à partir de cet instant. C'est pourquoi on peut considérer que sa croissance est terminée.
4. Estimation de la taille adulte
À partir de 17 ans, la courbe $\mathcal{C}_f$ semble se stabiliser sur un plateau horizontal. La valeur lue sur l'axe des ordonnées pour le point C et la partie finale de la courbe est de 163 cm. On peut donc estimer que sa taille adulte est de 1,63 m.