Analyse de l'exercice et contexte pédagogique

Cet exercice, issu du sujet d'Amérique du Nord 2026 pour la spécialité mathématiques en classe de Première, est un classique incontournable portant sur l'étude d'une fonction du second degré. Il évalue la capacité de l'élève à naviguer entre trois représentations : graphique, algébrique et analytique. L'enjeu est de valider la compréhension profonde du lien entre le nombre dérivé en un point et la pente de la tangente associée, tout en maîtrisant les techniques de calcul de dérivée et d'étude de signe.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont essentiels :

• Le nombre dérivé : Il faut se rappeler que $f'(a)$ correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Graphiquement, on le calcule en utilisant la formule $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points appartenant à la droite.
• La dérivation : La maîtrise des formules de base est requise, notamment la dérivée d'un polynôme de la forme $ax^2 + bx + c$. Rappelons que la dérivée de $x^2$ est $2x$ et celle de $x$ est $1$.
• Théorème de variation : Une fonction est croissante sur un intervalle où sa dérivée est positive, et décroissante là où sa dérivée est négative.

Correction détaillée

1. Lecture graphique :
a) Par simple lecture des ordonnées, on repère le point de la courbe d'abscisse $3$. On trouve $f(3) = 5$.
b) Pour $f'(-1)$, on regarde la pente de la tangente (droite rouge) passant par $A(-1 ; 5)$. En se déplaçant d'une unité vers la droite, on monte de 4 unités pour atteindre le point d'ordonnée $9$ (l'ordonnée à l'origine). Ainsi, $f'(-1) = 4$.

2. Analyse algébrique :
a) La fonction est définie par $f(x) = -x^2 + 2x + 8$. En utilisant les règles de dérivation ($x^n \to nx^{n-1}$), on obtient :
$f'(x) = -2x + 2$.
b) Pour étudier le signe de $f'(x)$, on résout l'inéquation $-2x + 2 > 0$. Cela équivaut à $2 > 2x$, soit $x < 1$. La dérivée est donc positive sur $[-2 ; 1]$, s'annule en $x = 1$, et devient négative sur $[1 ; 4]$.

3. Variations de la fonction

D'après l'étude du signe de la dérivée :

• Sur $[-2 ; 1]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante.
• Sur $[1 ; 4]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.

Le maximum de la fonction est atteint en $x = 1$ et vaut $f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = 9$, ce qui correspond parfaitement au sommet de la parabole visible sur le graphique.