Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il combine la géométrie repérée (calcul de coordonnées et de distances) avec les deux définitions du produit scalaire : la définition analytique (avec les coordonnées) et la définition géométrique (avec le cosinus de l'angle). L'objectif est de lier ces deux approches pour aboutir à une équation algébrique impliquant une racine carrée.

Points de vigilance et notions requises

• Coordonnées d'un vecteur : Pour deux points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((x_B - x_A; y_B - y_A)\).
• Norme d'un vecteur : Dans un repère orthonormal, \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
• Produit scalaire (Analytique) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\).
• Produit scalaire (Géométrique) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)\).
• Trigonométrie : Il est impératif de connaître les valeurs remarquables, notamment \(\cos(\frac{\pi}{3}) = 0,5\).

Correction détaillée

1. Coordonnées et norme de \(\vec{KP}\) :
P possède les coordonnées \((4;0)\) et K \((1;0)\). Ainsi, \(\vec{KP} = (4-1 ; 0-0) = (3 ; 0)\).
La norme est \(\|\vec{KP}\| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3\).

2. Coordonnées et norme de \(\vec{KM}\) :
M a pour coordonnées \((x;3)\) et K \((1;0)\). Donc \(\vec{KM} = (x-1 ; 3-0) = (x-1 ; 3)\).
La norme est \(\|\vec{KM}\| = \sqrt{(x-1)^2 + 3^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 9}\).

3. Produit scalaire analytique :
En utilisant la formule \(xx' + yy'\), on a :
\(\vec{KP} \cdot \vec{KM} = 3 \times (x-1) + 0 \times 3 = 3x - 3\).

4. Établissement de l'équation (E) :
D'après la définition géométrique : \(\vec{KP} \cdot \vec{KM} = \|\vec{KP}\| \times \|\vec{KM}\| \times \cos(\widehat{PKM})\).
Si \(\widehat{PKM} = \frac{\pi}{3}\), alors \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\).
On injecte les résultats précédents : \(3x - 3 = 3 \times \sqrt{(x-1)^2 + 9} \times \frac{1}{2}\).
En multipliant par 2 et en divisant par 3 de chaque côté, on obtient :
\(\frac{2}{3}(3x - 3) = \sqrt{(x-1)^2 + 9} \implies 2x - 2 = \sqrt{(x-1)^2 + 9}\).
C'est bien l'équation (E).

5. Vérification pour \(x = 1 + \sqrt{3}\) :
Si \(x = 1 + \sqrt{3}\), alors \(x-1 = \sqrt{3}\).
Membre de gauche : \(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
Membre de droite : \(2(1+\sqrt{3}) - 2 = 2 + 2\sqrt{3} - 2 = 2\sqrt{3}\).
L'égalité est vérifiée, donc \(1+\sqrt{3}\) est solution.