Analyse de l'exercice sur le produit scalaire

Cet exercice, extrait du sujet de Première Spécialité 2026 (Zone Étrangers), porte sur les notions fondamentales de géométrie repérée et de produit scalaire. L'objectif est de manipuler les deux définitions principales du produit scalaire : l'expression analytique (via les coordonnées) et l'expression géométrique (via les longueurs et le cosinus de l'angle).

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, il est impératif de maîtriser les points suivants :

• Calcul de vecteurs : Rappelons que pour deux points A et B, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$. Une erreur de signe est vite arrivée, notamment avec les coordonnées négatives.
• Produit scalaire analytique : Dans un repère orthonormé, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Norme d'un vecteur : La distance AC se calcule par la formule $\sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2}$.
• Relation avec le cosinus : La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ permet de faire le pont entre calcul algébrique et mesure d'angle.

Correction détaillée

1. Approche analytique :

a) Coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}(3 - (-1) ; 5 - 5)$ soit $\overrightarrow{AB}(4 ; 0)$.
$\overrightarrow{AC}(4 - (-1) ; 0 - 5)$ soit $\overrightarrow{AC}(5 ; -5)$.

b) Produit scalaire :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 5 + 0 \times (-5) = 20 + 0 = 20$.

2. Approche géométrique :

a) Calcul de la longueur AC :
$AC = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$. Or $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$. On a bien le résultat escompté.

b) Expression du produit scalaire :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.

c) Détermination de l'angle :
En remplaçant par les valeurs connues : $20 = 4 \times 5\sqrt{2} \times \cos(\widehat{BAC})$.
Soit $20 = 20\sqrt{2} \times \cos(\widehat{BAC})$.
D'où $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{20}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
En utilisant l'aide au calcul fournie : $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
On reconnaît une valeur remarquable du cosinus : l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $\frac{\pi}{4}$ radians (ou $45^{\circ}$).