Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice de mathématiques pour la spécialité en classe de Première porte sur deux piliers majeurs du programme : les probabilités conditionnelles et l'étude d'une variable aléatoire discrète. L'énoncé se place dans un contexte concret (gestion d'un cinéma) ce qui permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques rigoureux.
Points de vigilance et notions clés
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :
- Construction d'un arbre pondéré : Savoir placer les probabilités simples sur les branches de premier niveau et les probabilités conditionnelles sur le second niveau. Rappel : la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
- Formule des probabilités totales : Elle est centrale pour démontrer que \(P(J) = 0,32\) en sommant les chemins menant à l'événement \(J\).
- Probabilité de 'sachant' : Le calcul de \(P_J(A)\) nécessite de ne pas confondre l'événement conditionnant avec l'événement dont on cherche la probabilité.
- Variable aléatoire et Espérance : Bien identifier les valeurs possibles de \(X\) (0, 2 et 5) et leurs probabilités respectives pour calculer la moyenne théorique du gain par spectateur.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Arbre pondéré : Au premier niveau, nous avons \(P(A) = 0,6\) et \(P(\overline{A}) = 0,4\). Au second niveau, \(P_A(J) = 0,4\) (donc \(P_A(\overline{J}) = 0,6\)) et \(P_{\overline{A}}(J) = 0,2\) (donc \(P_{\overline{A}}(\overline{J}) = 0,8\)).
2. Calcul de \(P(A \cap J)\) : Par définition, \(P(A \cap J) = P(A) \times P_A(J) = 0,6 \times 0,4 = 0,24\). Interprétation : Il y a 24 % de chances que le spectateur interrogé soit à la fois abonné et jeune.
3. Probabilité de \(J\) : Selon la formule des probabilités totales, \(P(J) = P(A \cap J) + P(\overline{A} \cap J) = 0,24 + (0,4 \times 0,2) = 0,24 + 0,08 = 0,32\).
4. Affirmation sur les jeunes : On cherche \(P_J(A) = \frac{P(A \cap J)}{P(J)} = \frac{0,24}{0,32} = \frac{24}{32} = 0,75\). Comme \(0,75 > 0,5\), l'affirmation est exacte : plus de 3 jeunes sur 4 sont abonnés.
5. Variable aléatoire X :
- \(P(X=0) = P(A \cap J) = 0,24\)
- \(P(X=2) = P(A \cap \overline{J}) = 0,6 \times 0,6 = 0,36\)
- \(P(X=5) = P(\overline{A}) = 0,4\)
L'espérance \(E(X) = (0 \times 0,24) + (2 \times 0,36) + (5 \times 0,4) = 0 + 0,72 + 2,00 = 2,72\). Interprétation : En moyenne, un spectateur paie sa place 2,72 euros.