Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation de deux phénomènes d'évolution distincts à l'aide des suites numériques. Le premier modèle (complexe cinématographique) suit une croissance exponentielle discrète, caractéristique d'une suite géométrique, tandis que le second modèle (cinéma de centre-ville) suit une décroissance linéaire, typique d'une suite arithmétique. L'interaction entre ces deux modèles est enfin étudiée via un algorithme Python.

Points de vigilance et notions clés

• Taux d'évolution : Une augmentation de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{4}{100} = 1,04\).
• Nature des suites : Savoir justifier le passage de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) (multiplication ou addition constante).
• Formules explicites : Pour une suite géométrique, \(u_n = u_0 \times q^n\). Pour une suite arithmétique, \(v_n = v_0 + n \times r\).
• Boucles Python : Comprendre qu'une boucle while s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée.

Correction détaillée

1. Étude de la suite \((u_n)\)

a) En 2019 (\(n=1\)), le nombre de spectateurs subit une hausse de 4 %. \(u_1 = 180 \times 1,04 = 187,2\) (soit 187 200 spectateurs).

b) Chaque année, le nombre de spectateurs est multiplié par 1,04. On a donc la relation \(u_{n+1} = 1,04 \times u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 180\) et de raison \(q = 1,04\).

c) L'expression explicite est \(u_n = u_0 \times q^n\), soit \(u_n = 180 \times 1,04^n\).

2. Étude de la suite \((v_n)\) et algorithmique

a) Le cinéma perd 10 000 spectateurs chaque année, soit une diminution constante de 10 (en milliers). On a \(v_{n+1} = v_n - 10\). La suite \((v_n)\) est donc une suite arithmétique de raison \(r = -10\) et de premier terme \(v_0 = 260\).

b) Analyse du programme Python : La boucle while u < v calcule les valeurs successives de \(u_n\) et \(v_n\) tant que la fréquentation du complexe reste inférieure à celle du centre-ville. Calculons les itérations :
• \(n=0 : u=180, v=260\)
• \(n=1 : u=187,2, v=250\)
• \(n=2 : u\approx 194,7, v=240\)
• \(n=3 : u\approx 202,5, v=230\)
• \(n=4 : u\approx 210,6, v=220\)
• \(n=5 : u\approx 219,0, v=210\)
À \(n=5\), la condition \(u < v\) est fausse car \(219,0 \geq 210\). La valeur renvoyée est 5. Dans le contexte, cela signifie qu'en 2023 (\(2018+5\)), la fréquentation du nouveau complexe dépassera pour la première fois celle du cinéma de centre-ville.