Introduction au Sujet 13 - Session 2020

Le sujet 13 de la session 2020 de l'épreuve de spécialité mathématiques de Première est un excellent test de synthèse. Il couvre une large partie du programme, allant de l'étude des fonctions (second degré et dérivation) à la géométrie analytique, en passant par les suites numériques et les probabilités conditionnelles. La difficulté globale est jugée équilibrée, avec un QCM de démarrage qui sollicite des réflexes visuels et théoriques rapides, suivi d'exercices d'application plus classiques mais demandant une rigueur de rédaction certaine.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points balaie plusieurs pans du programme. Les premières questions portent sur le second degré. Analyse visuelle : La parabole présentée est tournée vers le bas, ce qui impose un coefficient $a$ négatif. Elle coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, ce qui signifie que le discriminant $\Delta$ est strictement positif. Lien Dérivée/Variations : La question 2 demande de déduire les variations d'une fonction $f$ à partir du signe de sa dérivée $g$. C'est un grand classique : là où la courbe de $g$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $f$ est croissante. Géométrie repérée : Les questions 4 et 5 font appel au produit scalaire. Pour trouver une équation de droite perpendiculaire à $(AB)$, on utilise le vecteur $\vec{AB}$ comme vecteur normal. Pour l'angle $\widehat{ABC}$, la formule du produit scalaire $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = BA \times BC \times \cos(\widehat{ABC})$ est l'outil indispensable.

Piège à éviter : Confondre la lecture de l'image $g(x)$ (signe de la dérivée) avec la lecture de la variation. Prenez le temps de dresser un petit tableau de signes au brouillon.

Exercice 2 : Suites et Modélisation

L'exercice porte sur l'évolution de la production de plastique. Avec une augmentation annuelle de $3,7\%$, on identifie immédiatement une suite géométrique de raison $q = 1 + 3,7/100 = 1,037$. Méthodologie : Pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$, on utilise la forme explicite $u_n = u_0 \times q^n$. Le sens de variation est évident ici puisque $u_0 > 0$ et $q > 1$, la suite est donc strictement croissante. Calcul de cumul : La dernière question sur la quantité totale de déchets flottants est plus subtile. Elle nécessite d'abord de calculer la somme des termes de la suite de 2000 à 2019 ($S = u_0 \frac{1-q^{20}}{1-q}$), puis d'appliquer les pourcentages successifs ($20\%$ puis $30\%$ car $100\% - 70\%$ flottent).

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

Le contexte des cookies en boulangerie permet d'évaluer la maîtrise de l'arbre pondéré. Notions clés : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. La formule des probabilités totales est nécessaire pour répondre à la question 4 : $P(C) = P(B_1 \cap C) + P(B_2 \cap C) + P(B_3 \cap C)$. Probabilité inverse : La question 5 demande de calculer $P_C(B_2)$. Il faut utiliser la définition $P_C(B_2) = \frac{P(B_2 \cap C)}{P(C)}$. C'est une application directe de la formule de Bayes.

Conseil méthodologique : Toujours convertir les énoncés textuels en notations mathématiques dès la lecture (ex: "sachant que" $\rightarrow$ probabilité conditionnelle).

Exercice 4 : Fonctions Rationnelles et Dérivation

Le dernier exercice combine l'étude d'un trinôme et d'une fonction rationnelle de la forme $u/v$. Dérivation : La dérivée de $f(x) = \frac{x^2 +x - 1}{x + 2}$ nécessite la formule $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Le calcul mène à faire apparaître le trinôme $P(x) = x^2 + 4x + 3$. Signe et Variations : Le dénominateur $(x+2)^2$ étant toujours positif, le signe de $f'$ dépend uniquement de celui de $P(x)$. L'étude des racines de $P(x)$ (via $\Delta = 4$) permet de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$. Tangente : Le coefficient directeur de la tangente en $x=2$ est simplement la valeur de la dérivée $f'(2)$.

Conclusion

Ce sujet 13 est très complet. Il demande une bonne agilité entre le calcul pur (dérivation, suites) et l'interprétation graphique. La réussite réside dans la précision des justifications, notamment pour l'utilisation du produit scalaire en géométrie et les passages de pourcentages en coefficients multiplicateurs pour les suites.