Introduction : Un panorama complet du programme de Première

Le sujet 1 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaye des pans essentiels du programme : la géométrie vectorielle (produit scalaire), l'analyse de fonctions (dérivation et exponentielle), les suites numériques couplées à l'algorithmie Python, et enfin les probabilités conditionnelles. La difficulté est équilibrée, oscillant entre l'application directe de formules et l'interprétation de modèles concrets.

Exercice 1 : QCM sur le produit scalaire et la lecture graphique

Cet exercice de type QCM teste les fondamentaux de la géométrie et de l'analyse.

Notions clés : Les trois premières questions portent sur le produit scalaire (définition avec le cosinus, projection orthogonale et bilinéarité). Les deux dernières questions concernent la lecture graphique d'une dérivée.

Pièges à éviter : Dans la Question 4, ne confondez pas l'ordonnée du point $A$ ($f(5)=0$) avec le coefficient directeur de la tangente ($f'(5)$). Pour la Question 5, observez bien le sens de variation de la courbe sur l'intervalle $]-\infty ; 0]$ : si la fonction croît, sa dérivée est positive.

Conseils méthodologiques : Pour le produit scalaire, apprenez par cœur les différentes expressions (normes et angle, coordonnées, projection). En analyse, retenez que $f'(a)$ est la pente de la droite tangente au point d'abscisse $a$.

Exercice 2 : Application de la fonction Exponentielle

L'exercice porte sur une étude de bénéfice (résultat d'entreprise) modélisée par une fonction de la forme $f(x) = (ax+b)e^{cx}$.

Notions clés : Étude de signe, dérivation d'un produit $uv$, et recherche d'extremum.

Pièges à éviter : L'erreur classique réside dans l'unité des variables. Ici, $x$ est en centaines de litres et $R(x)$ en dizaines de milliers d'euros. Un résultat de $R(x) = 2$ signifie $20\,000$ euros.

Conseils méthodologiques : Pour trouver le maximum, utilisez la dérivée fournie par l'énoncé. Le signe de $R'(x)$ dépend uniquement du facteur linéaire $(-1,25x + 12,5)$ car la fonction exponentielle est strictement positive. Résoudre $R'(x) = 0$ vous donne l'abscisse du sommet de la courbe.

Exercice 3 : Suites numériques et Algorithmique Python

Cet exercice traite de l'évolution des ventes d'un hebdomadaire avec une progression géométrique.

Notions clés : Suite géométrique de raison $q = 1,02$, somme des termes d'une suite, et boucle "While" en Python.

Pièges à éviter : Dans le programme Python, bien comprendre que la variable $S$ accumule les ventes (somme) tandis que $u$ représente les ventes de la semaine en cours. Ne confondez pas le calcul d'un terme avec le calcul de la somme cumulée.

Conseils méthodologiques : Pour calculer le nombre total d'exemplaires vendus en un an ($n=52$), utilisez la formule de la somme d'une suite géométrique : $S = u_0 \times \frac{1-q^n}{1-q}$. Pensez à vérifier si l'indice de départ est $u_0$ ou $u_1$ pour le nombre de termes.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles

Un cas pratique sur les choix de transport (avion/train) et les options de voyage.

Notions clés : Arbre pondéré, probabilités d'intersections, formule des probabilités totales.

Pièges à éviter : L'énoncé donne $P(A \cap V) = 0,12$. Ce n'est pas une probabilité conditionnelle ($P_A(V)$). Il faut bien lire la phrase : "12% des clients ont choisi à la fois l'avion et l'option".

Conseils méthodologiques : Construisez systématiquement un arbre pondéré pour visualiser les données. Pour la question 4, l'interrogation de deux clients de manière indépendante correspond à un schéma de Bernoulli (répétition d'expériences identiques). Multipliez simplement les probabilités individuelles.

Conclusion

Ce sujet 1 de 2020 est très représentatif des attendus de fin de Première. Il demande une bonne rigueur dans le calcul littéral et une capacité à interpréter des résultats mathématiques dans un contexte économique ou social. La maîtrise de la calculatrice pour les suites et les exponentielles est indispensable pour gagner en rapidité.