Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une application concrète des fonctions trigonométriques dans le domaine de l'électricité. L'objectif est d'étudier le comportement d'une diode soumise à une tension alternative modélisée par une fonction sinus de la forme \(u(t) = A\sin(\omega t + \phi)\). Les élèves doivent mobiliser leurs connaissances sur les valeurs remarquables du cercle trigonométrique, la notion de période et la lecture graphique.

Points de vigilance et notions requises

• Valeurs remarquables : Il est indispensable de connaître parfaitement les valeurs de \(\sin(\pi/3)\), \(\sin(\pi + \alpha)\) et \(\sin(5\pi/6)\).
• Unités : Le temps \(t\) est en secondes. La calculatrice doit impérativement être réglée en mode Radian.
• Périodicité : Savoir qu'une fonction de type \(x \mapsto \sin(ax+b)\) est périodique de période \(T = 2\pi/a\).
• Inégalités : Comprendre le seuil de conduction de la diode (\(\sqrt{3}/2\)).

Correction détaillée

1. État à \(t=0\) :
Calculons \(u(0) = \sqrt{3}\sin(100\pi \times 0 + \pi/3) = \sqrt{3}\sin(\pi/3)\). Comme \(\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), on a \(u(0) = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\). Puisque \(1,5 > \frac{\sqrt{3}}{2}\) (car \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\)), la diode est passante.

2. Calcul de \(u(1/100)\) :
\(u(0,01) = \sqrt{3}\sin(100\pi \times 0,01 + \pi/3) = \sqrt{3}\sin(\pi + \pi/3)\).
En utilisant la relation \(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\), on obtient \(u(0,01) = -\sqrt{3}\sin(\pi/3) = -1,5\). Interprétation : La tension est négative, donc \(u(0,01) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}\), la diode est non passante.

3. Périodicité :
L'égalité \(u(t + 0,02) = u(t)\) montre que la fonction \(u\) est périodique de période \(T = 0,02\) s. Cela correspond à une fréquence de 50 Hz, standard du réseau électrique français.

4. Étude du basculement :
a. Graphiquement, la courbe descend sous la barre des \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (environ 0,87) pour la première fois vers \(t = 0,005\) s.
b. Vérification par le calcul : \(u(0,005) = \sqrt{3}\sin(100\pi \times 0,005 + \pi/3) = \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\sin(\frac{5\pi}{6})\).
Comme \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), alors \(u(0,005) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). La diode devient non passante précisément à cet instant.