Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves de 2020 pour la spécialité mathématiques en Première. Il balaie un spectre large du programme : l'analyse (tangente et dérivation de fonctions composées), la géométrie repérée (vecteurs et équations de droites) et la trigonométrie (parité des fonctions).

Points de vigilance et notions requises

• Analyse : Il est crucial de connaître par cœur l'équation de la tangente \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) et la formule de dérivation des fonctions de type \(e^{u(x)}\), qui est \(u'(x)e^{u(x)}\).
• Géométrie : Savoir lire les coordonnées de points dans un repère et calculer les composantes d'un vecteur \(\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\). Pour les droites, la distinction entre équation cartésienne et équation réduite est fondamentale pour identifier le coefficient directeur.
• Trigonométrie : Rappelez-vous que \(\cos(-x) = \cos(x)\) (paire) et \(\sin(-x) = -\sin(x)\) (impaire).

Correction détaillée

Question 1 : Soit \(f(x) = e^x\). On cherche la tangente en \(a=0\). On a \(f(0) = e^0 = 1\) et \(f'(x) = e^x\) donc \(f'(0) = 1\). L'équation est \(y = 1(x-0) + 1\), soit \(y = x + 1\). Réponse a.

Question 2 : La fonction est de la forme \(e^u\) avec \(u(x) = -2x+6\). Sa dérivée est \(u'(x)e^u\) avec \(u'(x) = -2\). On obtient \(f'(x) = -2e^{-2x+6}\). Réponse b.

Question 3 : Par lecture graphique, le point A a pour coordonnées \((1 ; 3)\) et le point B a pour coordonnées \((7 ; 1)\). Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((7-1 ; 1-3) = (6 ; -2)\). On écrit donc \(\vec{AB} = 6\vec{i} - 2\vec{j}\). Réponse d.

Question 4 : \(f(x) = \sin(x) - \cos(x)\). Calculons \(f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x) = -\sin(x) - \cos(x)\). Ce n'est ni \(f(x)\) ni \(-f(x)\). De plus, \(f(0) = \sin(0) - \cos(0) = 0 - 1 = -1 eq 0\). La fonction n'est ni paire ni impaire. Réponse c.

Question 5 : L'équation \(5x - 2y + 8 = 0\) peut s'écrire sous forme réduite : \(-2y = -5x - 8\), d'où \(y = \frac{5}{2}x + 4\). Le coefficient directeur est \(\frac{5}{2}\). Réponse b.