Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de la géométrie repérée en classe de Première Spécialité. Il mobilise plusieurs outils fondamentaux du programme : le calcul de coordonnées de vecteurs, l'utilisation du produit scalaire pour démontrer l'orthogonalité, le calcul de distances pour caractériser un cercle, et enfin l'alignement de points remarquables (droite d'Euler). L'objectif est de manipuler les points caractéristiques du triangle : l'orthocentre \(H\), le centre du cercle circonscrit \(K\) et le centre de gravité \(G\).

Points de vigilance et notions requises

• Le produit scalaire : Dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y) \cdot \vec{v}(x';y') = xx' + yy'\). C'est l'outil privilégié pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
• L'orthocentre : C'est le point de concours des hauteurs. Pour prouver que \(H\) est l'orthocentre, il suffit de montrer qu'il appartient à deux hauteurs (orthogonalité).
• Le cercle circonscrit : Le centre \(K\) est équidistant des trois sommets (\(KA=KB=KC\)).
• L'alignement : Pour montrer que \(G, H, K\) sont alignés, on calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{GH}\) et \(\vec{GK}\) (par exemple) et on vérifie qu'ils sont colinéaires (\(xy' - yx' = 0\)).

Correction détaillée

1. Produit scalaire :
Calculons les coordonnées des vecteurs : \(\vec{AB}(12; 6)\) et \(\vec{HC}(6; -12)\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{HC} = 12 \times 6 + 6 \times (-12) = 72 - 72 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux.
De même, \(\vec{AC}(12; -12)\) et \(\vec{HB}(6; 6)\).
\(\vec{AC} \cdot \vec{HB} = 12 \times 6 + (-12) \times 6 = 72 - 72 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux.

2. Interprétation de H :
Puisque \((HC) \perp (AB)\) et \((HB) \perp (AC)\), \(H\) appartient à deux hauteurs du triangle \(ABC\). \(H\) est donc l'orthocentre du triangle.

3. Centre du cercle circonscrit :
Calculons les distances au carré :
\(KA^2 = (-4-5)^2 + (10-7)^2 = (-9)^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90\).
\(KB^2 = (8-5)^2 + (16-7)^2 = 3^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90\).
\(KC^2 = (8-5)^2 + (-2-7)^2 = 3^2 + (-9)^2 = 9 + 81 = 90\).
\(KA = KB = KC = \sqrt{90}\), donc \(K\) est le centre du cercle circonscrit.

4. Coordonnées de G :
\(M\) est le milieu de \([BC]\), donc \(M(\frac{8+8}{2} ; \frac{16-2}{2}) = M(8 ; 7)\).
\(\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM} \iff (x_G + 4 ; y_G - 10) = \frac{2}{3}(8 - (-4) ; 7 - 10) = \frac{2}{3}(12 ; -3) = (8 ; -2)\).
On en déduit \(x_G = 8 - 4 = 4\) et \(y_G = -2 + 10 = 8\). Donc \(G(4 ; 8)\).

5. Alignement (Droite d'Euler) :
Calculons \(\vec{HG}(4-2 ; 8-10) = \vec{HG}(2 ; -2)\) et \(\vec{HK}(5-2 ; 7-10) = \vec{HK}(3 ; -3)\).
On remarque que \(\vec{HK} = 1,5 \vec{HG}\). Les vecteurs sont colinéaires, les points \(G, H, K\) sont donc alignés sur la droite d'Euler.