Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles dans le contexte de la gestion de stock d'un libraire. On étudie deux fournisseurs (A et B) et le succès des ventes (événement S). L'énoncé fournit des fréquences qui se traduisent immédiatement en probabilités : \(P(A) = 0,40\) et \(P(S) = 0,91\). On nous donne également une probabilité conditionnelle : \(P_A(S) = 0,85\).

Notions et points de vigilance

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser les concepts suivants :

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable pour visualiser les situations de conditionnement. La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• La formule des probabilités totales : Elle permet de calculer la probabilité d'un événement final (ici \(S\)) en sommant les probabilités des différents chemins qui y mènent.
• La définition d'une probabilité conditionnelle : Savoir que \(P_F(E) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}\).

Guide de résolution et Correction

1. Probabilité du fournisseur B : Les événements \(A\) et \(B\) forment une partition de l'univers (un magazine vient soit de A, soit de B). Donc \(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,40 = 0,60\).

2. Construction de l'arbre : Sur la branche menant à \(A\), on place \(0,4\). Sur celle menant à \(B\), on place \(0,6\). À partir de \(A\), vers \(S\), on met \(0,85\). Vers \(\overline{S}\), on met \(1 - 0,85 = 0,15\). À partir de \(B\), vers \(S\), on place \(x\) (donné par l'énoncé).

3. Calcul de \(P(A \cap S)\) : Selon la règle de multiplication des chemins : \(P(A \cap S) = P(A) \times P_A(S) = 0,40 \times 0,85 = 0,34\).

4. Équation et \(P(B \cap S)\) : D'après la formule des probabilités totales, \(P(S) = P(A \cap S) + P(B \cap S)\). On sait que \(P(S) = 0,91\) et \(P(B \cap S) = P(B) \times P_B(S) = 0,6 \times x\). On obtient donc l'équation \(0,34 + 0,6x = 0,91\). Pour trouver \(P(B \cap S)\), on isole le terme : \(P(B \cap S) = 0,91 - 0,34 = 0,57\). On peut en déduire \(x = \frac{0,57}{0,6} = 0,95\).

5. Probabilité a posteriori : On cherche \(P_S(B)\). Par définition : \(P_S(B) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} = \frac{0,57}{0,91} \approx 0,626\).