Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur les probabilités conditionnelles dans le cadre d'une étude en entreprise. Il s'agit d'un classique des sujets de Première Spécialité Mathématiques. L'objectif est de modéliser une situation réelle à l'aide d'un arbre pondéré, de calculer des probabilités d'intersections et d'utiliser la formule des probabilités totales pour aboutir à une probabilité inverse (loi de Bayes).

Points de vigilance et notions de cours

• Construction de l'arbre : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Différenciation P(A ∩ T) et P_A(T) : \(P_A(T)\) est la probabilité sachant que l'employé est dans le service A, tandis que \(P(A \cap T)\) est la probabilité que l'employé soit ET dans le service A ET habite à moins de 30 minutes.
• Formule des probabilités totales : Elle s'applique car les événements A, B et C forment une partition de l'univers (chaque employé appartient à un et un seul service).

Correction détaillée

1. Justification de P(A) et P_A(T) :
L'entreprise compte 1000 employés et le service A en compte 450. Dans une situation d'équiprobabilité : \(P(A) = \frac{450}{1000} = 0,45\). L'énoncé indique que 40 % des employés du service A résident à moins de 30 min, donc \(P_A(T) = 0,40\).

2. Arbre pondéré :
L'arbre se compose de 3 branches principales : A (0,45), B (0,23) et C (0,32). Pour chaque service, on décline T et son contraire \(\overline{T}\). Pour A, T=0,4 et \(\overline{T}=0,6\). Pour B, T=0,2 et \(\overline{T}=0,8\). Pour C, T=0,8 et \(\overline{T}=0,2\).

3. Calcul de P(A ∩ T) :
\(P(A \cap T) = P(A) \times P_A(T) = 0,45 \times 0,4 = 0,18\).

4. Probabilité totale P(T) :
D'après la formule des probabilités totales :
\(P(T) = P(A \cap T) + P(B \cap T) + P(C \cap T)\)
\(P(T) = 0,18 + (0,23 \times 0,2) + (0,32 \times 0,8)\)
\(P(T) = 0,18 + 0,046 + 0,256 = 0,482\). Le résultat est bien vérifié.

5. Probabilité sachant T :
On cherche \(P_T(C) = \frac{P(C \cap T)}{P(T)} = \frac{0,256}{0,482} \approx 0,531\).