Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'application concrète des probabilités dans un contexte industriel (contrôle qualité de téléviseurs). Le candidat doit manipuler deux événements : \(D\) (défaut dalle) et \(C\) (défaut condensateur). La difficulté principale réside dans la distinction entre une probabilité d'intersection (et) et une probabilité conditionnelle (sachant que). L'énoncé fournit \(P(D)\), la probabilité conditionnelle \(P_D(C)\), ainsi que la probabilité totale \(P(C)\).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :

• Traduction de l'énoncé : Savoir identifier que 'parmi ceux-ci' introduit une probabilité conditionnelle (\(P_D(C)\)).
• Construction de l'arbre : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Formule des probabilités composées : \(P(D \cap C) = P(D) \times P_D(C)\).
• Formule de Bayes (Probabilité inverse) : Calculer \(P_C(D)\) nécessite de diviser l'intersection par la probabilité de la condition.
• Loi des probabilités totales : Comprendre que \(P(C) = P(D \cap C) + P(\overline{D} \cap C)\).

Correction détaillée

1. Justification des données : D'après l'énoncé, 3 % des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle, donc \(P(D) = 0,03\). Parmi ces téléviseurs (sachant \(D\)), 2 % ont un défaut sur le condensateur, d'où \(P_D(C) = 0,02\).

2. Arbre de probabilité :
- Branche vers \(D\) : \(0,03\).
- Branche vers \(\overline{D}\) : \(1 - 0,03 = 0,97\).
- Sous-branches partant de \(D\) : vers \(C\) (\(0,02\)) et vers \(\overline{C}\) (\(1 - 0,02 = 0,98\)).
Note : L'énoncé demande de ne compléter que les pointillés indiqués.

3. Calcul de \(P(D \cap C)\) :
\(P(D \cap C) = P(D) \times P_D(C) = 0,03 \times 0,02 = 0,0006\).

4. Probabilité conditionnelle \(P_C(D)\) :
On cherche la probabilité que le téléviseur ait un défaut de dalle sachant qu'il a un défaut de condensateur :
\(P_C(D) = \frac{P(D \cap C)}{P(C)} = \frac{0,0006}{0,05} = 0,012\).

5. Calcul de \(P(\overline{D} \cap C)\) :
D'après la loi des probabilités totales : \(P(C) = P(D \cap C) + P(\overline{D} \cap C)\).
En isolant l'inconnue : \(P(\overline{D} \cap C) = P(C) - P(D \cap C) = 0,05 - 0,0006 = 0,0494\). Le résultat est ainsi démontré.