Analyse de l'épreuve de Géométrie Repérée

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur les propriétés fondamentales de la géométrie analytique plane. Il mobilise des concepts clés tels que l'équation cartésienne d'une droite, la notion de vecteur normal et le calcul de distances via le projeté orthogonal. Ces thématiques sont au cœur du programme de Première et constituent une base essentielle pour le produit scalaire.

Points de vigilance et notions de cours

• Lien entre équation et vecteur : Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est un vecteur normal. Ne pas confondre avec le vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$.
• Perpendicularité : Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux (produit scalaire nul) ou si le vecteur normal de l'une est un vecteur directeur de l'autre.
• Intersection de droites : Trouver le projeté orthogonal $H$ revient à résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues (les équations des deux droites perpendiculaires).

Guide de résolution détaillé

1. Représentation graphique

Pour tracer la droite $(d) : -x + 3y + 2 = 0$, on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ : $3y = x - 2 \implies y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. En choisissant des valeurs de $x$ simples, comme $x=2$ (donne $y=0$) et $x=-1$ (donne $y=-1$), on place les points et on trace la droite.

2. Détermination du vecteur normal

D'après l'équation $-1x + 3y + 2 = 0$, on identifie directement $a = -1$ et $b = 3$. Ainsi, un vecteur normal à $(d)$ est $\vec{n}(-1; 3)$.

3. Équation de la perpendiculaire

Soit $(\Delta)$ la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A(-3; 5)$. Un vecteur directeur de $(\Delta)$ est le vecteur normal de $(d)$, soit $\vec{n}(-1; 3)$. Une équation de $(\Delta)$ est de la forme $3x + y + k = 0$ (car le vecteur $(3; 1)$ est orthogonal à $(-1; 3)$). En injectant les coordonnées de $A$ : $3(-3) + 5 + k = 0 \implies -9 + 5 + k = 0 \implies k = 4$. L'équation est donc $3x + y + 4 = 0$.

4. Coordonnées du projeté orthogonal H

H est l'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$. Résolvons le système :
1) $-x + 3y = -2$
2) $3x + y = -4$
De (2), on tire $y = -3x - 4$. En substituant dans (1) : $-x + 3(-3x - 4) = -2 \implies -x - 9x - 12 = -2 \implies -10x = 10 \implies x = -1$.
Ensuite, $y = -3(-1) - 4 = -1$. On retrouve bien $H(-1; -1)$.

5. Calcul de la distance

La distance entre $A$ et $(d)$ est la longueur $AH$.
$AH = \sqrt{(x_H - x_A)^2 + (y_H - y_A)^2} = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.