Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'étude d'une expérience aléatoire répétée : une série de trois tirs au but effectués par un joueur nommé Karim. La probabilité de succès (marquer un but) est constante (\(p = 0,7\)) et les tirs sont indépendants les uns des autres. Ce contexte correspond parfaitement à un schéma de Bernoulli de paramètres \(n=3\) et \(p=0,7\). L'objectif est de modéliser cette situation à l'aide d'une variable aléatoire \(X\) représentant le nombre de buts, puis d'étudier une variable \(Y\) représentant un gain financier lié à ces performances.
Points de vigilance et notions de cours
- Indépendance : C'est la condition clé pour multiplier les probabilités le long des branches d'un arbre.
- Arbre pondéré : Pour 3 répétitions, l'arbre comporte \(2^3 = 8\) issues finales.
- Loi de probabilité : Il s'agit de lister toutes les valeurs possibles de \(X\) (\(0, 1, 2, 3\)) et d'y associer leurs probabilités respectives.
- Espérance mathématique : Formule \(E(X) = \sum p_i x_i\). Pour une loi binomiale, on peut aussi utiliser \(E(X) = n \times p\).
- Transformation linéaire : Savoir que si \(Y = aX + b\), alors \(E(Y) = aE(X) + b\).
Correction détaillée
1. Étude de la variable X
a) L'arbre pondéré : L'arbre possède trois niveaux. À chaque nœud, deux branches partent vers \(M\) (probabilité 0,7) et \(R\) (probabilité 0,3).
b) Loi de probabilité de X :
Puisque les tirs sont indépendants, \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(3, 0,7)\).
- \(P(X=0) = 0,3^3 = 0,027\)
- \(P(X=1) = 3 \times (0,7^1 \times 0,3^2) = 3 \times 0,063 = 0,189\)
- \(P(X=2) = 3 \times (0,7^2 \times 0,3^1) = 3 \times 0,147 = 0,441\)
- \(P(X=3) = 0,7^3 = 0,343\)
Vérification : \(0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1\).
c) Espérance E(X) :
\(E(X) = n \times p = 3 \times 0,7 = 2,1\). En moyenne, Karim marque 2,1 buts par série de 3 tirs.
2. Gain du spectateur
a) Expression de Y : Le spectateur gagne 6 euros par but (\(6X\)) mais doit soustraire sa mise initiale de 15 euros. Ainsi, \(Y = 6X - 15\).
b) Espérance E(Y) : En utilisant la linéarité de l'espérance : \(E(Y) = E(6X - 15) = 6E(X) - 15\).
\(E(Y) = 6 \times 2,1 - 15 = 12,6 - 15 = -2,4\).
Interprétation : L'espérance est négative. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, le spectateur perd 2,40 € par jeu. Le jeu est défavorable au joueur.