Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques, extrait du sujet de Première Spécialité 2026, porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte concret de location de bicyclettes. L'objectif est de modéliser une situation aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré et d'appliquer les formules fondamentales de probabilités.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser les points suivants :

• Lecture d'énoncé : Distinguer une probabilité simple (ex: 20 % de l'ensemble des clients) d'une probabilité conditionnelle (ex: parmi ceux qui ont loué une traditionnelle...).
• Arbre de probabilités : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Intersection d'événements : Comprendre que $P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A)$.
• Formule des probabilités totales : Savoir que $P(A) = P(T \cap A) + P(\overline{T} \cap A)$.
• Probabilité conditionnelle inverse : Calculer $P_{\overline{T}}(A)$ à partir des résultats précédents.

Correction détaillée

1. Complétion de l'arbre :
D'après l'énoncé, $P(T) = 0,6$, donc $P(\overline{T}) = 1 - 0,6 = 0,4$.
Parmi les clients $T$, 25 % ont pris une assurance, donc $P_T(A) = 0,25$ et $P_T(\overline{A}) = 0,75$.

2. Probabilité de A :
L'énoncé indique directement que 20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance, soit $P(A) = 0,2$.

3. Calcul de $P(T \cap A)$ :
En suivant le chemin sur l'arbre : $P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A) = 0,6 \times 0,25 = 0,15$.

4. Déduction de $P(\overline{T} \cap A)$ :
D'après la formule des probabilités totales : $P(A) = P(T \cap A) + P(\overline{T} \cap A)$.
On a donc $0,20 = 0,15 + P(\overline{T} \cap A)$, d'où $P(\overline{T} \cap A) = 0,20 - 0,15 = 0,05$.

5. Calcul de la probabilité sachant $\overline{T}$ :
On cherche $P_{\overline{T}}(A) = \frac{P(\overline{T} \cap A)}{P(\overline{T})} = \frac{0,05}{0,4} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.