Analyse de l'énoncé
Cet exercice de niveau Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles. L'énoncé présente une situation concrète dans un salon de coiffure où deux services sont proposés : la coloration (\(C\)) et l'effet coup de soleil (\(E\)). La difficulté principale réside dans la traduction de l'énoncé textuel en données mathématiques rigoureuses, notamment pour identifier les probabilités d'intersection et les probabilités conditionnelles.
Points de vigilance et notions clés
- Lecture de l'énoncé : Le terme 'Parmi ceux qui...' introduit systématiquement une probabilité conditionnelle (\(P_{\overline{C}}(E)\)).
- L'arbre pondéré : Bien que non explicitement demandé dans la première question, construire un arbre est la méthode la plus sûre pour visualiser les chemins.
- Loi des probabilités totales : Utilisée ici pour calculer \(P(E)\), elle stipule que \(P(E) = P(C \cap E) + P(\overline{C} \cap E)\).
- Indépendance : Deux évènements sont indépendants si et seulement si \(P(C \cap E) = P(C) \times P(E)\).
Correction détaillée
1. Valeurs directes :
- D'après l'énoncé, 40% demandent une couleur-soin, donc \(P(C) = 0,4\).
- 24% demandent les deux services, donc \(P(C \cap E) = 0,24\).
- Parmi ceux qui ne veulent pas de couleur (\(\overline{C}\)), 30% veulent l'effet E, donc \(P_{\overline{C}}(E) = 0,3\).
2. Calcul de \(P(\overline{C} \cap \overline{E})\) :
On utilise la formule \(P(\overline{C} \cap \overline{E}) = P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(\overline{E})\).
On sait que \(P(\overline{C}) = 1 - 0,4 = 0,6\) et \(P_{\overline{C}}(\overline{E}) = 1 - 0,3 = 0,7\).
D'où \(P(\overline{C} \cap \overline{E}) = 0,6 \times 0,7 = 0,42\).
3. Calcul de \(P(E)\) :
D'après la formule des probabilités totales : \(P(E) = P(C \cap E) + P(\overline{C} \cap E)\).
On calcule \(P(\overline{C} \cap E) = P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(E) = 0,6 \times 0,3 = 0,18\).
Donc \(P(E) = 0,24 + 0,18 = 0,42\).
4. Indépendance :
Calculons \(P(C) \times P(E) = 0,4 \times 0,42 = 0,168\).
Or, \(P(C \cap E) = 0,24\).
Puisque \(P(C \cap E) eq P(C) \times P(E)\), les évènements \(C\) et \(E\) ne sont pas indépendants.