Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité traite des probabilités conditionnelles dans le contexte concret d'un snack. L'enjeu est de traduire un énoncé textuel en un modèle mathématique rigoureux (arbre pondéré) et d'utiliser les formules fondamentales pour répondre à des questions de probabilité et d'indépendance.

Points de vigilance et notions requises

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Intersection (\(P(A \cap B)\)) : On multiplie les probabilités le long d'un chemin.
• Formule des probabilités totales : Utilisée pour calculer \(P(T)\) en sommant les probabilités des intersections menant à l'événement \(T\).
• Probabilité conditionnelle inverse : Savoir utiliser la formule \(P_T(\overline{S}) = \frac{P(\overline{S} \cap T)}{P(T)}\).
• Indépendance : Vérifier si \(P(S \cap T) = P(S) \times P(T)\).

Correction Détaillée

1. Arbre pondéré :
D'après l'énoncé : \(P(S) = 0,8\), donc \(P(\overline{S}) = 1 - 0,8 = 0,2\).
Parmi les sandwichs, 30% prennent un dessert, donc \(P_S(T) = 0,3\) et \(P_S(\overline{T}) = 0,7\).
Parmi les pizzas, 45% ne prennent pas de dessert, donc \(P_{\overline{S}}(\overline{T}) = 0,45\) et \(P_{\overline{S}}(T) = 1 - 0,45 = 0,55\).

2. Calcul de \(P(S \cap T)\) :
\(P(S \cap T) = P(S) \times P_S(T) = 0,8 \times 0,3 = 0,24\).

3. Formule des probabilités totales pour \(P(T)\) :
\(P(T) = P(S \cap T) + P(\overline{S} \cap T)\)
\(P(T) = 0,24 + (0,2 \times 0,55) = 0,24 + 0,11 = 0,35\).
La démonstration est vérifiée.

4. Probabilité sachant le dessert :
On cherche \(P_T(\overline{S})\).
\(P_T(\overline{S}) = \frac{P(\overline{S} \cap T)}{P(T)} = \frac{0,11}{0,35} \approx 0,31\).

5. Étude de l'indépendance :
D'une part, \(P(S \cap T) = 0,24\).
D'autre part, \(P(S) \times P(T) = 0,8 \times 0,35 = 0,28\).
Comme \(0,24 eq 0,28\), les événements \(S\) et \(T\) ne sont pas indépendants.