Analyse de l'énoncé : La gestion des courriels
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques aborde le thème des probabilités conditionnelles à travers une situation concrète : le filtrage de courriels par un logiciel anti-spam. L'énoncé nous fournit une structure de partition de l'univers via deux évènements principaux : \(I\) (le courriel est indésirable) et \(S\) (le courriel est bloqué). L'objectif est de traduire des pourcentages textuels en probabilités, de construire un arbre pondéré et d'appliquer les formules fondamentales du cours.
Points de vigilance et notions requises
- L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Il faut veiller à ce que la somme des probabilités issues d'un même nœud soit toujours égale à 1.
- Intersection et Probabilité conditionnelle : Ne pas confondre \(P(I \cap S)\) (le courriel est à la fois indésirable ET bloqué) avec \(P_I(S)\) (la probabilité qu'il soit bloqué SACHANT qu'il est indésirable).
- Loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer \(P(S)\), elle consiste à sommer les probabilités des chemins menant à l'évènement \(S\).
- Inversion des probabilités : La question 4 demande \(P_S(I)\), ce qui nécessite l'application de la définition de la probabilité conditionnelle : \(P_S(I) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)}\).
Correction détaillée de l'exercice
1. Complétion de l'arbre :
Sur la première branche vers \(I\), on a \(0,35\). Par complémentarité, vers \(\overline{I}\), on a \(1 - 0,35 = 0,65\).
Partant de \(I\), la branche vers \(S\) vaut \(0,95\), donc celle vers \(\overline{S}\) vaut \(0,05\).
Partant de \(\overline{I}\), la branche vers \(S\) vaut \(0,02\) (donnée par l'énoncé), donc celle vers \(\overline{S}\) vaut \(0,98\).
2. Calcul de \(P(\overline{I} \cap S)\) :
D'après le chemin correspondant sur l'arbre : \(P(\overline{I} \cap S) = P(\overline{I}) \times P_{\overline{I}}(S) = 0,65 \times 0,02 = 0,013\).
3. Montrer que \(P(S) = 0,3455\) :
Selon la loi des probabilités totales, \(I\) et \(\overline{I}\) forment une partition de l'univers :
\(P(S) = P(I \cap S) + P(\overline{I} \cap S) = (0,35 \times 0,95) + 0,013 = 0,3325 + 0,013 = 0,3455\).
4. Probabilité que le courriel soit indésirable sachant qu'il est bloqué :
\(P_S(I) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)} = \frac{0,3325}{0,3455} \approx 0,962\).
5. Analyse de l'affirmation du fournisseur :
Le logiciel se trompe dans deux situations :
1. Il bloque un mail non indésirable : \(\overline{I} \cap S\) (probabilité \(0,013\)).
2. Il laisse passer un mail indésirable : \(I \cap \overline{S}\) (probabilité \(0,35 \times 0,05 = 0,0175\)).
La probabilité d'erreur totale est \(0,013 + 0,0175 = 0,0305\), soit \(3,05 \%\). L'affirmation est donc fausse car \(3,05 \% > 2 \%\).