Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité se concentre sur les probabilités conditionnelles dans un contexte concret : la provenance et la composition de cookies. L'énoncé nous fournit une partition de l'univers via trois boulangeries (\(B_1, B_2, B_3\)) et un caractère qualitatif (chocolat \(C\) ou noisettes \(N\)). La difficulté principale réside dans l'extraction des données textuelles pour compléter un arbre pondéré, puis dans l'application rigoureuse des formules de probabilités.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions du programme de Première Spécialité doivent être maîtrisées :

• La somme des probabilités : Sur chaque nœud d'un arbre, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud doit être égale à 1. Cela permet de trouver \(P(B_3)\) ou \(P_{B_3}(C)\).
• L'intersection : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).
• La formule des probabilités totales : \(P(C) = P(B_1 \cap C) + P(B_2 \cap C) + P(B_3 \cap C)\).
• La probabilité inversée (Formule de Bayes) : Savoir calculer \(P_C(B_2)\), c'est-à-dire la probabilité de la cause sachant l'effet.

Correction détaillée

1. Interprétation du nombre 0,6 : Le nombre 0,6 situé sur la branche allant de \(B_1\) à \(C\) représente la probabilité conditionnelle que le cookie soit au chocolat sachant qu'il provient de la boulangerie 1. On note \(P_{B_1}(C) = 0,6\).

2. Complétion de l'arbre :
- Pour les branches de premier niveau : \(P(B_1) = 0,49\), \(P(B_2) = 0,36\). Comme la somme doit faire 1, \(P(B_3) = 1 - 0,49 - 0,36 = 0,15\).
- Pour les branches de second niveau : Sachant \(B_1\), \(P(C)=0,6\) donc \(P(N)=0,4\). Sachant \(B_2\), \(P(C)=0,4\) (donné par \(P_{B_2}(C)=0,4\)) donc \(P(N)=0,6\). Sachant \(B_3\), \(P(N)=0,3\) donc \(P(C)=0,7\).

3. Évènement \(B_1 \cap C\) : Cet évènement signifie que « le cookie provient de la boulangerie 1 ET est au chocolat ». Sa probabilité est \(P(B_1 \cap C) = P(B_1) \times P_{B_1}(C) = 0,49 \times 0,6 = 0,294\).

4. Formule des probabilités totales : \(P(C) = P(B_1 \cap C) + P(B_2 \cap C) + P(B_3 \cap C)\).
On a déjà \(P(B_1 \cap C) = 0,294\).
Calculons les autres : \(P(B_2 \cap C) = 0,36 \times 0,4 = 0,144\).
\(P(B_3 \cap C) = 0,15 \times 0,7 = 0,105\).
D'où \(P(C) = 0,294 + 0,144 + 0,105 = 0,543\). La valeur est bien démontrée.

5. Probabilité sachant \(C\) : On cherche \(P_C(B_2)\). Par définition, \(P_C(B_2) = P(B_2 \cap C) / P(C)\).
\(P_C(B_2) = 0,144 / 0,543 \approx 0,265\).