Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice de mathématiques pour la spécialité en classe de Première porte sur deux piliers majeurs du programme : les probabilités conditionnelles et l'étude d'une variable aléatoire discrète. L'énoncé se place dans un contexte concret (gestion d'un cinéma) ce qui permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques rigoureux.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :

• Construction d'un arbre pondéré : Savoir placer les probabilités simples sur les branches de premier niveau et les probabilités conditionnelles sur le second niveau. Rappel : la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Formule des probabilités totales : Elle est centrale pour démontrer que $P(J) = 0,32$ en sommant les chemins menant à l'événement $J$.
• Probabilité de 'sachant' : Le calcul de $P_J(A)$ nécessite de ne pas confondre l'événement conditionnant avec l'événement dont on cherche la probabilité.
• Variable aléatoire et Espérance : Bien identifier les valeurs possibles de $X$ (0, 2 et 5) et leurs probabilités respectives pour calculer la moyenne théorique du gain par spectateur.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Arbre pondéré : Au premier niveau, nous avons $P(A) = 0,6$ et $P(\overline{A}) = 0,4$. Au second niveau, $P_A(J) = 0,4$ (donc $P_A(\overline{J}) = 0,6$) et $P_{\overline{A}}(J) = 0,2$ (donc $P_{\overline{A}}(\overline{J}) = 0,8$).

2. Calcul de $P(A \cap J)$ : Par définition, $P(A \cap J) = P(A) \times P_A(J) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$. Interprétation : Il y a 24 % de chances que le spectateur interrogé soit à la fois abonné et jeune.

3. Probabilité de $J$ : Selon la formule des probabilités totales, $P(J) = P(A \cap J) + P(\overline{A} \cap J) = 0,24 + (0,4 \times 0,2) = 0,24 + 0,08 = 0,32$.

4. Affirmation sur les jeunes : On cherche $P_J(A) = \frac{P(A \cap J)}{P(J)} = \frac{0,24}{0,32} = \frac{24}{32} = 0,75$. Comme $0,75 > 0,5$, l'affirmation est exacte : plus de 3 jeunes sur 4 sont abonnés.

5. Variable aléatoire X :

• $P(X=0) = P(A \cap J) = 0,24$
• $P(X=2) = P(A \cap \overline{J}) = 0,6 \times 0,6 = 0,36$
• $P(X=5) = P(\overline{A}) = 0,4$

L'espérance $E(X) = (0 \times 0,24) + (2 \times 0,36) + (5 \times 0,4) = 0 + 0,72 + 2,00 = 2,72$. Interprétation : En moyenne, un spectateur paie sa place 2,72 euros.