Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité est un classique des épreuves de mathématiques. Il se décompose en deux parties complémentaires : l'étude d'une situation de dépendance via les probabilités conditionnelles, puis l'application de ces résultats à une variable aléatoire monétaire. L'enjeu est de modéliser correctement les choix de spectateurs dans un cinéma (film d'action, dessin animé ou comédie) associés à un comportement d'achat (friandises).

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. Ne pas oublier de calculer \(P(C)\) avant de commencer.
• Formule des probabilités totales : C'est l'outil indispensable pour calculer \(P(F)\) puisque l'évènement \(F\) est partitionné par \(A\), \(D\) et \(C\).
• Probabilités inversées : La question 3 demande \(P_F(D)\), ce qui nécessite d'utiliser la définition \(P(D \cap F) / P(F)\).
• Variable aléatoire : Bien identifier les valeurs possibles de \(X\) (10€ ou 18€) et leurs probabilités associées avant de calculer l'espérance.

Guide de résolution détaillé

1. Construction de l'arbre :
On a \(P(A) = 0,40\), \(P(D) = 0,35\). Puisque ce sont les seules catégories, \(P(C) = 1 - (0,40 + 0,35) = 0,25\).
Pour les branches secondaires : \(P_A(F) = 0,5\), \(P_D(F) = 0,8\) et \(P_C(F) = 0,7\). Les branches complémentaires (barre F) se calculent par soustraction à 1.

2. Calcul de \(P(F)\) :
D'après la formule des probabilités totales :
\(P(F) = P(A \cap F) + P(D \cap F) + P(C \cap F)\)
\(P(F) = 0,4 \times 0,5 + 0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,7\)
\(P(F) = 0,2 + 0,28 + 0,175 = 0,655\). La démonstration est cohérente avec l'énoncé.

3. Probabilité conditionnelle :
On cherche \(P_F(D) = \frac{P(D \cap F)}{P(F)}\).
\(P_F(D) = \frac{0,35 \times 0,8}{0,655} = \frac{0,28}{0,655} \approx 0,427\).

4. Loi de probabilité et Espérance :
La variable \(X\) prend deux valeurs : 18€ (si le spectateur achète des friandises, soit l'évènement \(F\)) et 10€ (s'il n'en achète pas, soit \(\overline{F}\)).
Loi de probabilité : \(P(X=18) = 0,655\) et \(P(X=10) = 1 - 0,655 = 0,345\).
L'espérance est \(E(X) = 18 \times 0,655 + 10 \times 0,345 = 11,79 + 3,45 = 15,24\).
En moyenne, un spectateur dépense 15,24€ par séance.