Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait d'un sujet de Première Spécialité 2020, porte sur l'étude d'un trajet routier complexe à l'aide des outils de probabilités. L'énoncé présente deux étapes de décision (Paris-Orléans puis Orléans-Limoges), ce qui induit naturellement l'utilisation d'un arbre pondéré. La seconde partie de l'exercice lie les probabilités à une durée de trajet, introduisant la notion de variable aléatoire et de calcul d'espérance.

Points de vigilance

• Complétion de l'arbre : Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Interprétation de l'intersection : L'événement \(A \cap B\) se traduit par « A ET B » se produisent simultanément.
• Loi des probabilités totales : Pour calculer \(P(\overline{D})\), il faut sommer les probabilités des deux chemins menant à \(\overline{D}\).
• Variable aléatoire : Attention aux calculs des durées (somme des temps de chaque segment de trajet).

Correction détaillée

1. Arbre pondéré :
Sur la branche \(N\), on a \(P(N) = 0,3\), donc \(P(\overline{N}) = 1 - 0,3 = 0,7\).
Pour les branches secondaires : \(P_N(D) = 0,4\) et \(P_N(\overline{D}) = 0,6\). Pour le nœud \(\overline{N}\), \(P_{\overline{N}}(D) = 0,45\) et \(P_{\overline{N}}(\overline{D}) = 0,55\).

2. Calcul de \(P(\overline{N} \cap \overline{D})\) :
D'après la formule des probabilités conditionnelles : \(P(\overline{N} \cap \overline{D}) = P(\overline{N}) \times P_{\overline{N}}(\overline{D}) = 0,7 \times 0,55 = 0,385\).
Interprétation : La probabilité que l'automobiliste ne prenne ni la nationale entre Paris et Orléans, ni la départementale entre Orléans et Limoges est de 0,385.

3. Probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas la RD :
On utilise la loi des probabilités totales : \(P(\overline{D}) = P(N \cap \overline{D}) + P(\overline{N} \cap \overline{D})\).
\(P(N \cap \overline{D}) = 0,3 \times 0,6 = 0,18\).
\(P(\overline{D}) = 0,18 + 0,385 = 0,565\). Le résultat est bien vérifié.

4. Tableau de la variable aléatoire (temps de trajet) :

• \(N \cap D\) : 2h + 3,5h = 5,5h | \(P = 0,3 \times 0,4 = 0,12\)
• \(N \cap \overline{D}\) : 2h + 4h = 6h | \(P = 0,3 \times 0,6 = 0,18\)
• \(\overline{N} \cap D\) : 3h + 3,5h = 6,5h | \(P = 0,7 \times 0,45 = 0,315\)
• \(\overline{N} \cap \overline{D}\) : 3h + 4h = 7h | \(P = 0,7 \times 0,55 = 0,385\)

5. Espérance :
\(E(X) = (5,5 \times 0,12) + (6 \times 0,18) + (6,5 \times 0,315) + (7 \times 0,385) = 0,66 + 1,08 + 2,0475 + 2,695 = 6,4825\).
L'espérance est d'environ 6,48 heures. Cela signifie qu'en moyenne, un conducteur mettra environ 6h 29min pour effectuer ce trajet lors d'une journée rouge.