Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'étude d'une fonction combinant une expression affine et une fonction exponentielle de la forme $e^{ax+b}$. L'objectif principal est de valider la compétence de dérivation d'un produit et l'exploitation de la dérivée pour déterminer les variations d'une fonction.

Points de vigilance et notions de cours

• Règle du produit : Pour dériver $f(x) = u(x)v(x) + c$, on utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$. La constante seule s'annule à la dérivation.
• Dérivée de l'exponentielle : Rappelez-vous que la dérivée de $e^{kx}$ est $k e^{kx}$. Ici, $k = -0,5$.
• Signe de l'exponentielle : La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, ce qui simplifie l'étude de signe de la dérivée.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
Posons $u(x) = 4x - 4$ donc $u'(x) = 4$.
Posons $v(x) = e^{-0,5x}$ donc $v'(x) = -0,5e^{-0,5x}$.
En appliquant $(uv)' + 0$, on obtient :
$f'(x) = 4 \times e^{-0,5x} + (4x - 4) \times (-0,5e^{-0,5x})$
$f'(x) = e^{-0,5x} [4 - 0,5(4x - 4)]$
$f'(x) = e^{-0,5x} [4 - 2x + 2]$
$f'(x) = (-2x + 6)e^{-0,5x}$. La relation est démontrée.

2. Étude du signe et variations :
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{-0,5x} > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement du binôme $(-2x + 6)$.
$-2x + 6 = 0 \iff x = 3$.
$-2x + 6 > 0 \iff x < 3$.
Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; 3]$ et strictement décroissante sur $[3 ; +\infty[$. Elle admet un maximum en $x=3$.

3. Tangente horizontale :
Une courbe admet une tangente horizontale si et seulement si le nombre dérivé s'annule. Nous avons vu que $f'(x) = 0$ pour $x = 3$.
Calculons l'ordonnée : $f(3) = (4 \times 3 - 4)e^{-0,5 \times 3} + 5 = 8e^{-1,5} + 5$.
Le point unique est $A(3 ; 8e^{-1,5} + 5)$.