Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction rationnelle. Il combine deux approches essentielles du programme : la lecture graphique (interprétation de la tangente) et le calcul algébrique (dérivation et étude de signe). L'objectif est de vérifier la cohérence entre les propriétés géométriques d'une courbe et son expression analytique.

Points de vigilance et notions requises

• Nombre dérivé : Se rappeler que $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
• Équation de tangente : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
• Dérivée d'un quotient : Utilisation de la formule $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ ou décomposition de la fraction.
• Identités remarquables : Reconnaître $a^2 - b^2$ pour factoriser le numérateur de la dérivée.

Correction détaillée

1. Lecture graphique et tangente
a) Le point $A(1 ; 20)$ appartient à la courbe, donc $f(1) = 20$.
b) $f'(1)$ est la pente de la tangente $T_A$ passant par $A(1 ; 20)$ et $B(3 ; 10)$.
$f'(1) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{10 - 20}{3 - 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
c) L'équation est $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$, soit $y = -5(x - 1) + 20 = -5x + 5 + 20 = -5x + 25$.

2. Étude analytique
a) $f(x) = \frac{4x^2+7x+9}{x}$. En dérivant comme un quotient avec $u(x) = 4x^2+7x+9$ et $v(x) = x$ :
$f'(x) = \frac{(8x+7)x - (4x^2+7x+9)(1)}{x^2} = \frac{8x^2+7x-4x^2-7x-9}{x^2} = \frac{4x^2-9}{x^2}$.
En reconnaissant l'identité remarquable $a^2-b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$, on obtient bien $f'(x) = \frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}$.
b) Sur $]0 ; +\infty[$, $x^2 > 0$ et $2x+3 > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend uniquement de $2x-3$.
$2x-3 > 0 \iff x > 1,5$.
c) $f$ est donc décroissante sur $]0 ; 1,5]$ et croissante sur $[1,5 ; +\infty[$.

3. Tangente parallèle
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc $x$ tel que $f'(x) = 3$.
$\frac{4x^2-9}{x^2} = 3 \iff 4x^2 - 9 = 3x^2 \iff x^2 = 9$.
Comme $x \in ]0 ; +\infty[$, la solution est $x=3$. Il existe donc une unique tangente parallèle à la droite $y=3x+5$ au point d'abscisse 3.