Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré \(h(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 490\) définie sur l'intervalle \([0 ; 26]\). Il mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité : la dérivation, l'interprétation graphique et l'étude des variations via le signe de la dérivée (second degré).

1. Calcul de la fonction dérivée

Pour dériver \(h(x)\), on applique les formules usuelles de dérivation d'une puissance (\(x^n ightarrow nx^{n-1}\)) et d'une constante.
On obtient :
\(h'(x) = -3x^2 + 30 \times 2x - 108 = -3x^2 + 60x - 108\).

2. Identification graphique et justification

L'étude de \(h'(x)\) montre qu'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Sa représentation graphique est donc une parabole.

• \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_3\) sont des paraboles, tandis que \(\mathcal{C}_2\) représente une fonction du troisième degré. Donc \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_2\).
• Le coefficient dominant de \(h'(x)\) est \(a = -3\). La parabole \(\mathcal{C}'\) est donc tournée vers le bas. Par ailleurs, \(h'(0) = -108\), ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine de \(\mathcal{C}_1\). Ainsi, \(\mathcal{C}' = \mathcal{C}_1\).

3. Équation de la tangente au point d'abscisse 0

L'équation de la tangente \((T)\) est donnée par la formule : \(y = h'(0)(x - 0) + h(0)\).
Calculons les valeurs :

• \(h(0) = -490\)
• \(h'(0) = -108\)

4. Signe de la dérivée et variations

Pour étudier le signe de \(h'(x) = -3x^2 + 60x - 108\), on cherche ses racines en résolvant \(-3x^2 + 60x - 108 = 0\).
En simplifiant par \(-3\), on obtient \(x^2 - 20x + 36 = 0\).
Le discriminant est \(\Delta = (-20)^2 - 4(1)(36) = 400 - 144 = 256 = 16^2\).
Les racines sont \(x_1 = \frac{20 - 16}{2} = 2\) et \(x_2 = \frac{20 + 16}{2} = 18\).
Le coefficient \(a\) étant négatif, \(h'(x)\) est négative à l'extérieur des racines et positive entre elles.
Tableau de variations : Sur \([0 ; 2]\), \(h\) est décroissante ; sur \([2 ; 18]\), \(h\) est croissante ; sur \([18 ; 26]\), \(h\) est décroissante.