Analyse de l'énoncé : La modélisation par les suites

Cet exercice extrait du sujet de Première Technologique 2026 (Polynésie) traite d'une thématique fondamentale du programme : les suites numériques appliquées à des problématiques concrètes, ici la gestion d'une réserve d'eau. La situation présente une diminution annuelle en pourcentage, ce qui doit immédiatement orienter l'élève vers l'utilisation d'une suite géométrique.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une baisse de \(t\%\) revient à multiplier par \((1 - \frac{t}{100})\). Ici, une baisse de \(10\%\) correspond à un coefficient de \(0,9\).
• Nature de la suite : Identifier qu'une relation de type \(u_{n+1} = q \times u_n\) définit une suite géométrique.
• Outil Tableur : Comprendre la logique des références relatives (comme B2) pour automatiser des calculs.
• Interprétation : Faire le lien entre l'indice \(n\) de la suite et l'année réelle (\(2025+n\)).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de \(u_1\) :
La réserve perd \(10\%\) de son volume initial de \(3000\text{ m}^3\). La perte est de \(3000 \times 0,10 = 300\). Le nouveau volume est donc \(u_1 = 3000 - 300 = 2700\). On peut aussi faire directement \(3000 \times 0,9 = 2700\).

2. Expression de \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) :
Chaque année, le volume est multiplié par \(0,9\) (car \(1 - \frac{10}{100} = 0,9\)). On a donc la relation de récurrence : \(u_{n+1} = 0,9 \times u_n\).

3. Nature de la suite :
La suite \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 3000\) et de raison \(q = 0,9\).

4. Formule Tableur :
En cellule C2, on souhaite calculer le terme suivant à partir du précédent situé en B2. La formule à saisir est =B2*0,9.

5. Analyse du seuil :
On cherche quand \(u_n < 2000\). D'après le tableau fourni :

• Pour \(n=3\), \(u_3 = 2187\) (le volume est suffisant).
• Pour \(n=4\), \(u_4 = 1968\) (le volume passe sous la barre des 2000).