Introduction : Décryptage du Sujet de Bac Spécialité Mathématiques (Métropole 2026, Session 2)

Le baccalauréat de spécialité mathématiques est une étape cruciale pour les lycéens de terminale qui s'orientent vers des études scientifiques ou économiques. Le sujet présenté ici, issu de la session de remplacement (Session 2) de septembre 2026 en Métropole, constitue une ressource d'entraînement d'une rare qualité. Pourquoi ? Parce qu'il balaye de manière exhaustive et avec un niveau d'exigence élevé la quasi-totalité du programme officiel.

Les sujets de la session de septembre sont souvent perçus comme légèrement plus déroutants que ceux de juin. Ils obligent le candidat à sortir des sentiers battus et à démontrer une véritable compréhension des mécanismes mathématiques plutôt qu'une simple application mécanique de formules. À travers ses quatre exercices, ce sujet évalue les probabilités conditionnelles et continues, l'étude approfondie de la fonction exponentielle, la maîtrise du calcul intégral, la géométrie dans l'espace, et l'analyse de suites. Dans cet article, nous allons décortiquer, exercice par exercice, la philosophie de ce sujet, les compétences évaluées, les pièges classiques à éviter, et la démarche méthodologique à adopter.

Analyse détaillée de l'Exercice 1 : Probabilités, Loi Binomiale, Suites et Algorithmique (5 points)

Ce premier exercice est un formidable « couteau suisse » mathématique. Il ne se contente pas d'un seul domaine, mais fusionne les probabilités avec les suites et la programmation Python. Il est scindé en deux parties complémentaires modélisant les performances d'un joueur de basket-ball.

Partie A : Loi binomiale et seuil de probabilité via Python

La première mise en situation est classique et rassurante. On suit une joueuse qui réussit ses lancers francs avec une probabilité constante de 0,60. Les mots-clés « succession d'épreuves aléatoires indépendantes » doivent immédiatement déclencher un réflexe chez le candidat : on est dans le cadre du schéma de Bernoulli, et la variable aléatoire associée qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale.

Le candidat devra justifier rigoureusement les paramètres de cette loi, à savoir le nombre d'essais \( n = 5 \) et la probabilité de succès \( p = 0,6 \). L'utilisation de la calculatrice pour évaluer \( P(X \geqslant 4) \) est attendue. Ensuite, le niveau monte d'un cran. On ne connaît plus le nombre de lancers, noté \( n \). L'objectif est de trouver le nombre d'essais minimum pour que la probabilité d'obtenir au moins un succès dépasse un seuil de 99,99 %. L'astuce incontournable ici est de passer par l'événement contraire (« ne réussir aucun lancer franc »), ce qui conduit à la résolution d'une inéquation du type \( 1 - 0,4^n > 0,9999 \). Pour isoler \( n \), l'utilisation du logarithme népérien est indispensable, sans oublier que la division par un logarithme négatif inverse le sens de l'inégalité.

Pour couronner cette partie, un script Python incomplet est proposé. Il traduit de manière algorithmique la recherche de ce seuil. C'est l'occasion de vérifier si l'élève sait lire, comprendre et compléter une boucle conditionnelle « while » (tant que).

Partie B : Probabilités conditionnelles et convergence d'une suite

Le contexte évolue pour introduire une forme d'effet psychologique sur le joueur : la réussite d'un lancer dépend du résultat précédent. Nous quittons la loi binomiale pour entrer dans le domaine des chaînes de Markov simplifiées et des probabilités conditionnelles. La modélisation par un arbre pondéré est fortement recommandée, même si elle n'est pas explicitement exigée. L'application de la formule des probabilités totales permet ensuite d'établir une relation de récurrence liant \( p_{n+1} \) à \( p_n \).

L'exercice bascule alors dans l'analyse pure. Le candidat doit démontrer par récurrence que la suite de probabilités est croissante. C'est un exercice de rédaction strict où l'initialisation et l'hérédité doivent être impeccables. Une fois la monotonie prouvée, le candidat doit justifier que la suite est majorée (une probabilité ne pouvant excéder 1). Le théorème de convergence monotone permet d'en conclure que la suite admet une limite. Enfin, l'interprétation de cette limite (\( 4/7 \)) dans le contexte du basketball démontre la capacité du candidat à donner du sens à des résultats abstraits : il s'agit du taux de réussite stabilisé à long terme.

Analyse détaillée de l'Exercice 2 : Fonction Exponentielle, Convexité et Calcul Intégral (5 points)

Le deuxième exercice est le pilier d'Analyse du sujet. Il met en scène la fonction \( f(x) = (3x - 1)\text{e}^{-x} + 2 \). Ce type de fonction, mélange d'un polynôme du premier degré et d'une exponentielle, est un grand classique car il demande une excellente dextérité calculatoire.

Limites, Asymptotes et Dérivation

L'étude démarre avec le calcul des limites. En moins l'infini, on est face à un produit direct menant à moins l'infini. En revanche, en plus l'infini, le candidat rencontre une forme indéterminée. Pour la lever, il est nécessaire de développer l'expression et de faire appel aux théorèmes de croissances comparées. L'existence d'une limite finie indique la présence d'une asymptote horizontale dont l'équation doit être explicitée.

Le calcul de la dérivée repose sur la formule de dérivation d'un produit : \( (uv)' = u'v + uv' \). C'est souvent ici que les erreurs de signe se glissent. Le sujet est clément puisqu'il fournit la réponse à vérifier. L'étude du signe de la dérivée ne dépend que de son facteur polynomial, l'exponentielle étant strictement positive sur \( \mathbb{R} \). Un tableau de variations rigoureux, intégrant les limites préalablement calculées, conclut cette phase d'exploration.

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et Intégration

L'exercice aborde ensuite la recherche de racine. L'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle où la fonction est strictement croissante permettra de justifier l'existence et l'unicité de la solution \( \alpha \) à l'équation \( f(x) = 0 \). Une utilisation habile de la calculatrice graphique donnera son encadrement.

La dernière partie fait intervenir le calcul intégral. Plutôt que de demander au candidat de trouver la primitive via une intégration par parties (hors programme sous cette forme), le sujet donne directement une primitive \( F \). Le calcul de l'aire du domaine sous la courbe nécessite d'appliquer le théorème fondamental du calcul intégral : \( F(2) - F(0) \). Enfin, l'inégalité de la tangente vient ponctuer l'exercice, demandant potentiellement de s'appuyer sur la convexité de la fonction ou sur une simple étude de fonction auxiliaire (la différence entre la courbe et la tangente).

Analyse de l'Exercice 3 : Le Redoutable Vrai/Faux (5 points)

Format apprécié des concepteurs, le QCM sous forme de Vrai/Faux avec justification oblige le candidat à faire preuve de clairvoyance et d'efficacité. Chaque affirmation traite d'un chapitre différent.

• Affirmation 1 (Équations différentielles) : Il est proposé une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre. Le piège classique est de chercher à résoudre cette équation de A à Z. La méthode « experte » consiste à prendre la fonction candidate, à la dériver, et à vérifier si elle satisfait l'équation en injectant \( f' \) et \( f \). Toute différence invalide l'affirmation.
• Affirmation 2 (Intégration par parties) : Cette question teste la capacité à mener à bien une IPP sur la fonction \( (2x + 1)\cos(x) \). La clé réside dans le bon choix des fonctions à dériver et à intégrer. Une erreur de signe sur l'intégration du cosinus en sinus, ou l'oubli des crochets, et le résultat final sera erroné. Une grande vigilance est de mise.
• Affirmation 3 (Inéquation logarithmique) : C'est sans doute le piège le plus sournois de l'exercice. L'inéquation propose deux logarithmes naturels. Le premier réflexe de l'élève inattentif sera de « simplifier » les logarithmes et de résoudre l'inéquation du second degré associée. Or, une inéquation impliquant des logarithmes n'est valable que sur le domaine de validité où les arguments sont strictement positifs. Il faut croiser l'ensemble de définition avec l'ensemble des solutions de l'inéquation polynomiale.
• Affirmation 4 (Transformation d'une suite homographique) : Une suite est définie par un quotient de type homographique. On introduit une suite auxiliaire dont on affirme qu'elle est arithmétique. La méthode est canonique : il faut exprimer \( v_{n+1} \) en fonction de \( u_{n+1} \), remplacer \( u_{n+1} \) par son expression, simplifier le quotient et démontrer que la différence \( v_{n+1} - v_n \) est une constante réelle.
• Affirmation 5 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) : La dernière affirmation relève des probabilités avancées du programme de Spécialité. Avec \( n = 3600 \) lancers de dé, le nombre d'apparitions du chiffre 6 suit une loi binomiale d'espérance 600 et de variance 500. On demande de minorer la probabilité d'un écart à la moyenne. L'utilisation directe de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est requise, constituant une application magistrale du cours sur les variables aléatoires.

Analyse de l'Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Cet exercice final vient couronner le tout avec une plongée dans la géométrie analytique tridimensionnelle. Ce chapitre exige vision dans l'espace et rigueur algébrique.

Partie A : Plans, Orthogonalité et Tétraèdre

Le point de départ est de vérifier que trois points ne sont pas alignés, ce qui garantit qu'ils définissent un plan. On passe ensuite par le produit scalaire pour prouver qu'un vecteur donné est normal à ce plan. Une fois cette étape validée, déduire l'équation cartésienne du plan est un jeu d'enfant. L'exercice bascule ensuite sur des notions d'intersection et de projection orthogonale : définir la représentation paramétrique d'une droite orthogonale au plan, et trouver les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur ce plan en substituant les équations paramétriques dans l'équation cartésienne.

Le calcul final du volume du tétraèdre mobilise la formule « base fois hauteur divisé par 3 », en ayant pris soin de prouver que la base est un triangle rectangle, ce qui facilite grandement l'évaluation de son aire.

Partie B : Optimisation d'une distance

Dans la dernière phase, le candidat est confronté à un point mobile parcourant une droite paramétrée. L'objectif est de trouver la position de ce point qui minimise sa distance à un point fixe. L'approche analytique transforme cette distance euclidienne en un polynôme du second degré de la forme \( as^2 + bs + c \). L'optimisation se résume alors à trouver le sommet de la parabole orientée vers le haut, soit via l'annulation de sa dérivée, soit par la formule de l'abscisse du sommet. C'est une conclusion élégante qui mêle géométrie et analyse fonctionnelle.

Conseils Stratégiques pour Réussir ce type de Sujet

• Gérer son temps : Un sujet de quatre heures comportant quatre exercices nécessite un rythme régulier (environ une heure par exercice). Ne restez pas bloqué sur une question du Vrai/Faux : passez à la suite et revenez-y plus tard.
• Soigner la rédaction : Les jurys de correction sont intraitables sur la rigueur. Le symbole d'équivalence mathématique ne doit pas remplacer le texte. Énoncez clairement les théorèmes utilisés (TVI, croissances comparées, Bienaymé-Tchebychev).
• Utiliser la calculatrice à bon escient : Elle sert d'outil de vérification (tracé de fonctions, calcul d'intégrales définies, termes de suites), mais elle ne remplace jamais une démonstration mathématique.
• Lire les données jusqu'au bout : Dans les exercices longs (comme l'étude de fonction), les questions intermédiaires donnent souvent des résultats permettant de continuer l'exercice même en cas de blocage.

Conclusion générale sur l'épreuve

Le sujet de Mathématiques Métropole 2026 Session 2 est une épreuve redoutablement bien construite. Il ne piège pas l'élève, mais il exige une maîtrise parfaite des fondamentaux et une grande dextérité calculatoire. S'entraîner sur ce sujet complet, en se fixant les conditions réelles de l'examen, constitue le meilleur des entraînements pour aborder sereinement les épreuves de fin d'année et sécuriser un excellent dossier Parcoursup. Bonnes révisions à toutes et à tous !