Compétences et clés de réussite

L'exercice sous forme de Vrai/Faux est un grand classique incontournable des épreuves terminales du Baccalauréat de mathématiques, et nécessite une excellente maîtrise globale du programme. Il permet d'évaluer de façon transversale la capacité du candidat à mobiliser très rapidement diverses notions, théorèmes et méthodes, tout en construisant des raisonnements logiques et rigoureux, qui doivent être concis. Dans le cadre très spécifique de ce sujet du Bac Métropole 2026 (Sujet 2), cinq affirmations complètement indépendantes les unes des autres abordent des chapitres cruciaux et très variés du programme, s'étendant des bases de l'analyse mathématique jusqu'aux concepts plus avancés des probabilités et statistiques.

1. Résolution et vérification d'équations différentielles

La première affirmation se penche avec précision sur le chapitre des équations différentielles du premier ordre, au cœur du programme d'analyse. L'objectif pédagogique n'est pas ici de résoudre entièrement et laborieusement l'équation différentielle linéaire \((E) : y' - 2y = (x - 3)\text{e}^x\), mais plutôt de valider ou non si une fonction affine paramétrée par une exponentielle en est une solution particulière. Pour infirmer ou confirmer formellement cette proposition mathématique, la méthode de loin la plus sûre et la plus efficace consiste à calculer avec attention la dérivée \(f'\) de la fonction candidate. Il faut ensuite substituer habilement \(y\) par l'expression de \(f(x)\) et \(y'\) par \(f'(x)\) dans l'égalité de départ. Une parfaite maîtrise des règles de dérivation, et plus particulièrement la dérivée d'un produit associant un polynôme à la fonction exponentielle, est ici absolument indispensable pour ne pas commettre d'erreur de calcul et conclure avec succès.

2. Calcul intégral et intégration par parties

La seconde affirmation proposée au candidat requiert le calcul analytique d'une intégrale définie qui implique le produit de deux fonctions de natures différentes : une fonction affine polynomiale et la fonction trigonométrique cosinus. Le programme officiel de la spécialité mathématiques de Terminale propose le théorème de l'intégration par parties comme l'outil algébrique principal et indispensable pour résoudre ce type de configuration complexe. La clé de la réussite réside principalement dans le choix stratégique et judicieux des fonctions \(u\) et \(v'\). Ce choix doit permettre d'aboutir à une intégrale résiduelle simple à évaluer, et non de complexifier le calcul. Il faut également prêter une extrême attention à la gestion des signes et aux évaluations trigonométriques aux bornes d'intégration \(0\) et \(\pi\).

3. Résolution d'inéquations avec la fonction logarithme népérien

La troisième proposition nécessite l'étude détaillée d'une inéquation algébrique comportant des termes issus de la fonction logarithme népérien. La première étape, qui est souvent omise ou négligée par les candidats, bien qu'elle soit ici généreusement rappelée par l'intervalle \(]7 ; +\infty[\), consiste en la validation de l'ensemble de définition et de validité de l'inéquation. Ensuite, c'est l'exploitation directe des propriétés algébriques de stricte croissance de la fonction logarithme sur son domaine d'application qui va permettre de simplifier l'expression. On passe ainsi directement aux arguments des logarithmes pour résoudre une inéquation du second degré tout à fait classique, ce qui nécessite l'application méthodique du calcul du discriminant et l'étude du signe du trinôme.

4. Étude asymptotique et suites définies par récurrence

La quatrième affirmation nous plonge pleinement dans l'univers de l'analyse des suites numériques. Face à une suite définie par une relation de récurrence de type homographique, l'énoncé introduit de façon très classique une suite auxiliaire, notée \((v_n)\), qui va permettre d'identifier la nature sous-jacente de la suite de départ. Pour démontrer mathématiquement qu'une suite possède un caractère arithmétique, il faut obligatoirement évaluer la différence de deux termes consécutifs \(v_{n+1} - v_n\) et parvenir à montrer que cette différence correspond invariablement à une constante réelle, qu'on appelle la raison, totalement indépendante de l'indice \(n\). Une gestion rigoureuse des simplifications et des calculs impliquant des fractions algébriques est absolument requise.

5. Probabilités et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Enfin, la cinquième et dernière affirmation aborde la théorie passionnante des probabilités via la répétition multiple et indépendante d'une même épreuve de Bernoulli (ici, le lancer d'un dé cubique équilibré). Cette situation se modélise sans surprise par le recours à la loi binomiale de paramètres connus. L'énoncé invite le candidat à trouver une minoration de la probabilité mesurant un écart centré par rapport à la moyenne statistique. L'utilisation pertinente de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est au cœur de la démarche de résolution de ce problème particulier. Le calcul préalable de l'espérance mathématique (la moyenne théorique des succès) ainsi que de la variance associée constitue le préalable technique incontournable pour conclure formellement.