Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet de Première Technologique 2026, est structuré sous forme d'affirmations « Vrai/Faux ». Il balaie trois piliers fondamentaux du programme : les suites arithmétiques, les suites géométriques (et leur modélisation) et l'application géométrique de la dérivation (équation de la tangente).

Points de vigilance et notions de cours

• Suites arithmétiques : Ne pas confondre la raison additive (\(r\)) avec un multiplicateur. La relation est \(u_n = u_p + (n-p)r\).
• Suites géométriques : Pour prouver qu'une suite n'est pas géométrique, le calcul des premiers termes (\(u_0, u_1, u_2\)) et l'observation d'un rapport non constant suffisent.
• Tangente : L'équation est donnée par \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\). Il faut savoir dériver une fonction polynôme du second degré.
• Modélisation : Une baisse de \(t\%\) correspond à un coefficient multiplicateur de \((1 - t/100)\).

Correction détaillée

Question 1 : Suite arithmétique

On sait que \(u_5 = 10\) et \(r = 5\). Pour calculer \(u_7\), on utilise la relation : \(u_7 = u_5 + (7-5) \times r\).
\(u_7 = 10 + 2 \times 5 = 10 + 10 = 20\).
L'affirmation est donc FAUSSE (250 correspondrait à une erreur de calcul type suite géométrique ou multiplication erronée).

Question 2 : Nature de la suite

Calculons les premiers termes de \(u_n = 2n^2+1\) :
\(u_0 = 2(0)^2 + 1 = 1\)
\(u_1 = 2(1)^2 + 1 = 3\)
\(u_2 = 2(2)^2 + 1 = 9\)
\(u_3 = 2(3)^2 + 1 = 19\).
On observe que \(u_1/u_0 = 3\) et \(u_2/u_1 = 3\), mais \(u_3/u_2 = 19/9 \neq 3\). Le rapport n'est pas constant.
L'affirmation est FAUSSE.

Question 3 : Équation de la tangente

1. On dérive \(f(x) = 5x^2-2x+3\) : \(f'(x) = 10x - 2\).
2. Valeur du coefficient directeur en \(x=1\) : \(f'(1) = 10(1) - 2 = 8\).
3. Image de 1 : \(f(1) = 5(1)^2 - 2(1) + 3 = 6\).
4. Équation : \(y = 8(x-1) + 6 = 8x - 8 + 6 = 8x - 2\).
L'affirmation est VRAIE.

Question 4 : Modélisation

Une diminution de 15 % revient à multiplier par \(1 - 0,15 = 0,85\). La réintroduction de 100 truites s'ajoute ensuite.
La relation de récurrence correcte est \(u_{n+1} = 0,85u_n + 100\).
L'affirmation propose \(0,15u_n\), ce qui correspond à ne garder que la part perdue.
L'affirmation est FAUSSE.